求异面直线所成角一个公式

江苏省姜堰中学 张圣官（225500）

求两条异面直线所成的角，一般都用“引平行线作角，再解三角形”这一思路。本文通过对一道课本习题的变形、分析，得出求异面直线所成的角的一个公式，简单易记且便于使用。

如图1，AB和平面α所成的角是θ1，AC在平面α内，AC和AB在α上的射影AB’所成的角为θ2，设∠BAC=θ，则有cosθ=cosθ1·cosθ2（证明略）。

我们把该题作如下变形：在平面α内作一条平行于AC的直线l，显然l与AB异面，当θ2为锐角时，∠BAC的大小θ即为异面直线l与AB所成的角。

如图2，设a、b是两条异面直线，bα，a为平面α上的射影记为c。若a与α所成的角为θ1，b与c所成的角为θ2，两条异面直线a和b所成的角为θ，则cosθ=cosθ1·cosθ2(*)。

使用公式(*)时首先要确定θ1和θ2，而它们都与射影c有关。因此，如何恰当选择α，以便于作出a在α上的射影c就成了关键，下面以几道高考题为例。

[例1]（1992年全国高考题）如图3所示，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、

N分别为A1B1、BB1的中点，那么AM与CN所成角的余弦值是 （ ）

（A）

10332 （B） （C） （D）

10255[解析]选平面AB1为公式中的α，显然CN、AM、BB1就是公式中的a、b、c。 ∵cos1cosCNB525,cos2cosA1AM 55∴coscos1cos22 5∴选D.

[例2]（1990年全国高考题）如图4，正三棱锥S—ABC的侧棱与底面的边长相等，如

果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于 （ ）

0000

（A）90 （B）60 （C）45 （D）30

[解析]选平面SCF为公式中的α，∵AB⊥平面SCF，∴SF为SA在平面SCF上的射影，SA、EF、SF分别为公式中的a、b、c，∵cos1cosASF3,cos2cosSFE 22EF6,450 ，∴coscos1cos2SF32∴选C.

[例3]（1995年全国高考题）如图5，A1B1C1—ABC是直三棱柱，

0

∠BAC=90，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，

则BD1与AF1所成角的余弦值是 （ ）

（A）

3030151 （B） （C） （D） 1015102[解析]选平面AC1为公式中的α，∵BC⊥AC，∴BC⊥平面AC1. ∵D1F1∵

cos130 10CF1303,cos2cosAF1C,∴coscos1cos2 BD165∴选A.

[例4]（1996年全国高考题）如图6，正方形ABCD所在的平面与正方形ABCDEF所在的

0

平面成60的二面角，则异面直线AD与BD所成角的余弦值是_______________.

[解析]选平面BF为公式中的α，过D作DH⊥AF于H，∵BA⊥平面DAH，∴BA⊥DH，∴DH⊥平面BF。这样，AH为DA在平面BF上的射影，DA、BF、AH就是公式中的a、b、c。由

00条件，1DAH60,2BFA45,∴coscos1cos22即为所求。 4[例5]（2000年上海高考题）如图7，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC的中点，异面直线AD与BE所成角的大小为arccos10，求四面体ABCD10的体积。

[解析]选平面ABC为公式中的α，则AD、BE、AB即为公式中的a、b、c。设BD=x，则

cos12x24，而cos2cos450210)cos1 ，由coscos(arccos210cos2,得x=4. VABCD18x22. 63[例6]（2002年全国高考题）如图8，正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1中，底面边长为1，侧棱长为

2，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是

（ ）

0000

（A）90 （B）60 （C）45 （D）30

[解析]选平面BC1为公式中的α过D作DH⊥BC于H，则DH⊥α，又E1G⊥α，∴C1H为

E1D在α上的射影，E1D、BC1、C1H即为公式中的a、b、c. 在直角梯形E1C1HD中，E1C1=3，

DH=

CH3333，E1D=3，∴C1H=，cos11. 在△C1BH中，BC1=3，BH，222E1D213. 因此coscos1cos2∴cos210，60. 2∴选B.

公式(*)巧妙地把求异面直线所成的角的问题转化成了求线面角及同一平面内线线角的问题，不必添加过多的辅助线，运算上一般都化为解直角三角形的问题，也在一定程度上提高了运算的准确性。