三角形的外角习题及答案

➢ 例题示范

例1：已知：如图，点E是直线AB，CD外一点，连接DE交AB于点F，∠D=∠B+∠E． 求证：AB∥CD．

EEAFBAFBCD

CD①读题标注 ②梳理思路

要证AB∥CD，需要考虑同位角、内错角、同旁内角． 因为已知∠D=∠B+∠E，而由外角定理得∠AFE=∠B+∠E，故∠D=∠AFE，所以AB∥CD． ③过程书写 证明：如图，

∵∠AFE是△BEF的一个外角（外角的定义）

∴∠AFE=∠B+∠E（三角形的外角等于与它不相邻的两个内

角的和）

∵∠D=∠B+∠E（已知） ∴∠AFE=∠D（等量代换）

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

➢ 巩固练习

1. 如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，∠1=115°，∠A=40°，

∠D=35°，则∠2=________．

DCEA21BF

2. 已知：如图，在△ABC中，∠BAC=50°，∠C=60°，AD⊥BC，

BE是∠ABC的平分线，AD，BE交于点F，则∠AFB的度数为____________．

AEFαBDC

第2题图 第3题图

3. 将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α

的度数为（ ） A．45°

B．60°

C．75°

D．90

4. 如图，已知∠A=25°，∠EFB=95°，∠B=40°，则∠D的度数为

_____________．

DECAFAEB BCD

第4题图 第5题图

5. 如图，已知AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B=30°，∠DAE=50°，则∠D=_______，∠ACB=_______．

6. 如图，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC的平分线BD交AC于

点D，∠BDC=70°，求∠C的度数． 解：如图，

∵∠BDC是△ABD的一个外角 （_____________________） ∴∠BDC=∠A+∠ABD

（_____________________） ∵∠A=40°，∠BDC=70° （_____________________）

∴∠ABD=_______-________

=________-________ =________

（_____________________）

ADBC第4题图∵BD平分∠ABC （_____________________）

∴∠ABC=2∠ABD

=_____×______ =__________ （_____________________）

∴∠C=180°-∠A-∠ABC

=180°-________-_______ =________

（_____________________）

7. 已知：如图，CE是△ABC的一个外角平分线，且EF∥BC交

AB于点F，∠A=60°，∠E=55°，求∠B的度数．

8. 已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，

DE∥BC交AB于点E，∠A=45°，∠BDC=60°，求∠AED的度数．

AFEBCDAEDBC➢ 思考小结

1. 在证明过程中：

（1）要证平行，找_______角、_______角、_______角． （2）要求一个角的度数：

①由平行，想_______相等、________相等、__________互补； ②由直角考虑互余，由平角考虑_______，由对顶角考虑 ____________；

③若把一个角看作三角形的内角，考虑__________________ _____________；

④若把一个角看作三角形的外角，考虑__________________ ________________________． 2. 阅读材料

欧几里得公理体系

几何学创建的初期，内容是繁杂和混乱的．人们进行几何推理时，总是拿自己掌握的一些“基本事实”作为大前提去进行推理，而每个人心中的“基本事实”不尽相同．这就导致很多内容无法沟通，也没有统一的标准．这时，有必要将几何的内容，用逻辑的“锁链”整理、穿连起来．第一个完成这件工作的是古希腊数学家欧几里得（Euclid）．

欧几里得知识渊博，数学造诣精湛，尤其擅长几何证明．当他意识到几何学有必要做出系统整理的时候，就开始着手编写自己的著作《原本》了．

他的思路是这样的：首先给出一些最基本的定义，如“点是没有部分的”，“线是没有宽度的”等；接着他列出了5条公设和5条公理作为推理的基本事实，而之后所有的推理都必须建立在这5条公设和5条公理基础上来进行． 5条公设是：

（1）从任意点到任意点作直线是可能的． （2）把有限直线不断沿直线延长是可能的．

（3）以任意点为中心和任意距离为半径作一圆是可能的． （4）所有直角彼此相等．

（5）若一直线与两条直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的另一点． 5条公理是：

（1）跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的．

（2）等量加等量，总量仍相等． （3）等量减等量，余量仍相等． （4）彼此重合的东西是相等的． （5）整体大于部分．

其中5条公设主要对作图进行了相应的规范，而5条公理则主要从代数推理上进行规定．

欧几里得基于上述这些公设和公理，推导出了平面几何中几乎所有的结论，从而构成了一个完整的几何体系，我们称之为欧氏几何．而他的著作《原本》中关于平面几何的部分，被翻译成中文叫做《几何原本》，正是我们平面几何的原型． 而欧几里得这种对几何知识进行系统化、理论化的总结方法就被称之为公理法，而《原本》正是公理化体系的最好阐释．

【参】 ➢ 巩固练习

1. 2. 3. 4. 5.

40° 125° C 20° 20°，70°

∴∠BDC=∠A+∠ABD（三角形的外角等于与它不相邻

的两个内角的和）

∵∠A=40°，∠BDC=70°（已知） ∴∠ABD=∠BDC-∠A

=70°-40°

=30°（等式的性质）

∵BD平分∠ABC（已知） ∴∠ABC=2∠ABD =2×30° =60°（角平分线的定义） ∴∠C=180°-∠A-∠ABC =180°-40°-60° =80°（三角形的内角和等于180°）

7. 解：如图，

∵EF∥BC（已知）

∴∠ECD=∠E（两直线平行，内错角相等） ∵∠E=55°（已知） ∴∠ECD=55°（等量代换）

∵CE是△ABC的一个外角平分线（已知） ∴∠ACD=2∠ECD =2×55° =110°（角平分线的定义）

∵∠ACD是△ABC的一个外角（外角的定义）

∴∠ACD=∠A+∠B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内

角的和）

∵∠A=60°（已知） ∴∠B=∠ACD-∠A

6. ∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）

=110°-60°

=50°（等式的性质）

8. 解：如图，

∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）

∴∠BDC=∠ABD+∠A（三角形的外角等于与它不相邻的两

个内角的和）

∵∠A=45°，∠BDC=60°（已知） ∴∠ABD=∠BDC-∠A

=60°-45°

=15°（等式的性质）

∵BD平分∠ABC（已知） ∴∠ABC=2∠ABD =2×15° =30°（角平分线的定义） ∵DE∥BC（已知）

∴∠AED=∠ABC（两直线平行，同位角相等） ∴∠AED=30°（等量代换）

➢ 思考小结

1. （1）同位、内错、同旁内．

（2）①同位角、内错角、同旁内角； ②互补，对顶角相等； ③三角形的内角和等于180°．

④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．