第四节高阶系统的时域响应

高阶系统的闭环传递函数可表示为如下一般表达式：

b0sb1sC(s)G(s)nn1R(s)a0sa1smm1bm1sbman1san将分子和分母分解成因式，上式可写成零极点型：

K(sz1)(sz2)(szm)C(s)G(s)R(s)(sp1)(sp2)(spn)式中

z1,z2,,zmp1,p2,,pn——系统闭环传递函数的零点；——系统闭环传递函数的极点；

单位阶跃响应为

c(t)A0Ajej1qpjtBkek12krknktcos1nkt2kCkek1rknktsin1nkt结论

（1）高阶系统的时域响应瞬态分量是由一阶惯性环节和二阶（2）系统瞬态分量的形式由闭环极点的性质决定，调整时间的（3）如果闭环传递函数中有一极点距坐标原点很近，则其产生（6）如果闭环极点中有一对（或一个）极点距离虚轴最近，且5）如果所有闭环极点均具有负实部，则所有的瞬态分量将随震荡环节的响应分量合成，其中控制信号极点所对应的拉氏反长短主要取决于最靠近虚轴的闭环极点；闭环零点只影响瞬态分量的瞬态分量可略去不计着时间的增长面不断衰减，最后只有稳态分量。闭环极点均位变换为系统响应的稳态分量，传递函数极点所对应的拉氏反变其附近没有闭环零点，而其它闭环极点与虚轴的距离都比该极幅值的大小正负和符号的正负（4）如果闭环传递函数中有一个极点与一个零点十分靠近，则于S左半平面系统，称为稳定系统。换为系统响应的瞬态分量该极点所对应的瞬态分量幅值小，也可略去点与虚轴距离大5倍以上，则称此对极点为系统的主导极点第五节线性定常系统的稳定性

一. 系统稳定

如果系统受到扰动作用时，系统输出虽会偏离原来的平衡状态，但扰动消失后，在经过足够长的时间会恢复原来的平衡状态，则称系统是稳定的（或称系统具有稳定性）。

高阶系统的闭环传递函数可表示为如下一般表达式：

b0sb1sC(s)G(s)nn1R(s)a0sa1s将分子和分母分解成因式，上式可写成

mm1bm1sbman1sanK(sz1)(sz2)(szm)C(s)G(s)R(s)(sp1)(sp2)(spn)式中

z1,z2,,zmp1,p2,,pn——系统闭环传递函数的零点；

——系统闭环传递函数的极点

单位脉冲响应为：

g(t)Ajej1rqpjtBkek1rknktcos1nkt2kCkek1knktsin1nktt2k(1)当-pj0,knk0,g(t)0稳定(2)当-pj0,或-knk0,g(t)(3)当pj0,或knk0,g(t)等幅震荡,临界稳定t二、系统稳定的充分必要条件

1.线性系统稳定的充分必要条件是：

系统特征方程的根（即系统闭环传递函数的极点）全部分布在s复平面虚轴的左侧。

Resi0左半平面2.系统稳定的必要条件：

系统的特征方程的系数全部为正即ai >0 (i=0,1,2…n)

特征方程：asnasn1asa001n1na1a0a2a0a3a0-( 所有根之和)

（按所有可能组合每次取二个根，求其乘积之和）

-（按所有可能组合每次取三个根，求其乘积之和）

ann 所有根乘积（-1）a0第六节劳斯稳定判据

系统的特征方程式的标准形式为：

a0sa1snn1an1san0为判断系统稳定与否，将系统特征方程式中的s各次项系数排列成如下的劳斯表（RouthArray）。

ssn1sn2na0a1b1c1e1f1g1a2a3b2c2e2a4a5b3c3a6a7b4c4sn3s2s1s0劳斯表共n+1行；最下面的两行各有1列，其上两行各有2列，再上面两行各有3列，依次类推。最高一行应有(n+1)/2列（若n为奇数）或(n+2)/2列（若n为偶数）。

表中的有关系数为

1a0a2b1a1a1a31a1c1b1b1a3b21a0b2a1a1a4a51a0b3a1a1a6a71a1c2b1b1a5b31a1c3b1b1a7b4这一计算过程，一直进行到行，计算到每行其余的系数全部等于零为止。为简化数值运算，可以用一个正整数去除或乘某一行的各项，这时并不改变稳定性的结论。

一、Routh判据：

特征方程式全部的根都在s平面的左半部分，即系统稳定的充分必要条件是

特征方程式所有的系数都大于零（正值）。劳斯表的第1列系数都为正（符号没有变化）。

例1：例2：

结论

s15s50s2005432322s5s3s4s6s14s706（1）若表中第一列的系数均为正值,则系统稳定（2）如果表中第一列的系数有正、负符号变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S右半平面上的个数，相应的系统为不稳定

列劳斯表如下：

sss65425751871151815891157342511761477s3ss21s0由于表中的第1列出现了负数，所以根并非都在s左半平面。因此，该系统是不稳定的。

关于劳斯判据的几点说明



如果第一列中出现一个小于零的值，系统就不稳定；

如果第一列中有等于零的值，说明系统处于临界稳定状态；

第一列中数据符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目，即系统中不稳定根的个数。

在应用劳斯判据时，可能遇到如下的特殊情况：1．劳斯表中第1列出现零

如果劳斯表第1列中出现0，那么可以用一个小的正数ε代替它，并继续计算其余各项。

例如：

s2ss2s1012112当ε趋近于零时，其值是一个很大的负值，因此可以认为第1列中的各元的符号改变了两次。

432sssss4321001221结论：1.若符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S右半平面上的个数，系统是不稳定的。2.如果第一列中上面一行和下面一行的符号相同，表明有一对纯虚根存在。例3：

s32s2s20s3s2s1s0120()2120可以看出，第1列各元中的上面和下面的系数符号不变，故有一对虚根。将特征方程式分解，有

s32s2s20s21s20解得根为

p1,2j1,p322．劳斯表的某一行中，所有元都等于零

如在劳斯表的某一行中，所有元都等于0，则表明方程有一些大小相等且对称于原点的根或共轭复根。在这种情况下，可利用全0行的上一行各元构造一个辅助多项式（称为辅助方程），式中均为偶次。以辅助方程的导函数的系数代替劳斯表中的这个全0行，然后继续计算下去。

(4)s2s8s12s20s16s160s5s4s3s2sss106654321220(8)683164812120(24)1602016160160p(s)2s12s1642dps38s24sds22p(s)2s12s160p(s)(s4)(s2)02s1,2j2,s3,4j2s5,61j应用长除法，可求得其余的两个根，为：

可见：该系统是处于临界稳定状态。

s5,61j(6)

ss2s2ss105432s51 2 1s41 2 1s30 (4) 0 (4) s21 1s10(2) 0s01

p421(s)s2s10s1,2s51p421(s)s2s1dp1sds4s34sp22(s)s1dp2sds2sjs3,4j容易得到以下的简单结论：

（1）一阶和二阶系统稳定的充分必要条件是：

（2）三阶系统稳定的充分必要条件是：特征方

。

特征方程所有系数均为正。程所有系数均为正，

且a1a2a0a3二、用劳斯判据分析系统

1. 确定闭环系统稳定时其参数的取值范围

例：

R(s)1sK(s1)(s5)C(s)求：K?系统稳定

2. 确定系统的稳定裕量

稳定裕量：系统距离稳定的边界（虚轴）有多远1）相对稳定：考虑一定的稳定裕量2）绝对稳定：不考虑一定的稳定裕量

检验系统是否具有（稳定裕量），把s 平面的虚轴向左移以sz代入特征方程式，得到以z 为变量的特征方程式。

例：用劳斯判据检验下列特征方程

2s10s13s40是否有根在s 的右半平面上，并检验有几个根在垂直线

32s1的右方。

应用代数稳定判椐可以用来判定系统是否稳定，还可以方便地用于分析系统参数变化对系统稳定性的影响，从而给出使系统稳定的参数范围。

例如：系统的闭环传递函数为

C(S)KR(s)T1s1T2s1T3s1K系统特征方程为

TT12T3sTT12TT13T2T3sT1T2T3s1K032根据代数稳定判椐，稳定的充要条件得

T1T2T3T2T3T10K2T2T3T1T1T2T3