ＺＨＯＮＧＸＵＥ ＪＩＡＯＸＵＥ ＣＡＮＫＡＯ －－解题方法ｓ技巧 两个代数恒等式及其应用举例 福建龙岩市第二中学（３６４０００）张亮 两个代数恒等式：① ＋口＋６＋１一（口＋１）（６＋１）； ②ｎ６一口一６＋１＝＝＝（ａ一１）（６—１）．利用这两个恒等式，可 以解决一些与整数有关的问题．以下通过举例加以说 明． ［例１］已知方程 。＋口ｚ＋１一ｂ一０的两根是正整 数，求证：ａ ＋ｂ 是合数． 证明：设方程 ＋ｎ ＋１－－ｂ＝Ｏ的两根为 、ｚｚ，则 １＋ｚ２一一口，ｚ１ｚ２：＝：１—６． 。．．ａ一一（ｚ１＋ｚ２），６—１一ｚ１Ｘ２． ． ．口 ＋６ 一（ｚ１＋ｚ２）。＋（１一 １Ｘ２）。一ｚ：ｚ；＋ｚ；＋ ＋１一（ ＋１）（ｚ；＋１）． ‘。 ．、ｚ 都是正整数，．。．ｚ；４－１与ＪＳ＂；４－１都是大于１ 的正整数． ‘．．ｎ ＋６ 是合数． ［例２］对于一个正整数７／＂，若能找到正整数口和ｂ， 使 ＝＝＝口６＋口＋ｂ，则称７２是一个“好数”．试问在１～１００ 这１００个正整数中，“好数”共有多少个？ 解：设 是一个“好数”，则存在正整数口和ｂ，使 ＝＝＝ ｎ６＋ｎ＋６． ． ． ＋１一（Ⅱ＋１）（６＋１）是合数． 。．。在２￣１０１这１００个正整数中，合数共有７４个， ’．．在Ｉ￣１００这１００个正整数中，“好数”共有７４个． ［例３］若正整数 、 满足ｍ＋，ｚ＞ ，ｚ，求 ＋ 一 的值． 解：‘．‘ｍ＋ ＞ ，．‘． 靠一 一 ＜０．．‘．（ 一１）（咒一 １）＜１． ‘‘．ｍ、 都是正整数，．。．（ 一１）（ 一１）是非负整数． －．．（ｍ一１）（ 一１）一Ｏ，．’．ｍ４． 一砌一１． ［例４］首项系数不相等的两个二次方程（ｎ一１） 一 （ｎ ＋２）ｘ４－（口 ＋２ａ）＝＝＝０及（６—１）ｚ 一（６。＋２）ｘ＋（６。４－ ２６）＝０（其中ａ、６为正整数）有一个公共根，求 的值． 解：由条件知口＞１，６＞１且ａｖｅｂ，解得两方程的根 分别为ｎ、省和６、 ． ． ｂ＋２。 ６＋２ ． 一 一 或 一６‘ 。．．口６一ｎ一６—２—０． 。．．（ｎ一１）（６—１）一３． ‘。．ｎ、ｂ为正整数， ・．．｛ａ６一－ ｌ一＝３ｌ或．／｛ａ６一－ １＝一 ３．．・．。一２，６—４或口一４，６—２． ・．． 一 一４ ２４＝２５６． ［例５］求所有的实数ｋ，使方程愚ｚ ＋（忌＋１） ＋是一 １一Ｏ的根都是整数． 解：分以下两种情况： ①当是一１时，ｚ一１，符合题意． ②当是≠Ｏ时，首先由△≥Ｏ，得３志 一６忌一１≤Ｏ． 设方程的两根为 、ｚ ，则ｚ ＋ 。一一 一一１— １ １ ｉ’ｚｌＸ２一ｌ—ｉ‘ 消去愚，得ｚ１ 一 一 一２．．’．（ １—１）（ｘ２—１）一３． ’． Ｘ１、ｚ２都是整数， ・．．｛ｚｘｌ。一－Ｉ ：＝：：一－Ｉ３｛ｘｚ， －一ｌ ＝：：：－一３ 或｛ｘｚ￣ 一－１ 一＝１３或 ｆｚ１—１＝＝３ Ｉｚ２—１—１ 。．．ｚｌ＋ｚ２一一２或ｚ１＋ｚ２—６， ・．一ｌ－－ｉ ＝一２或一１一 １—６．．解得志一一号或１， 均满足３愚。一６是一１≤０． 综合①②可得，ｋ＝Ｏ，一＿争，１． ［例６］设ｚ 、ｚ。、ｚ。、ｚ 、ｚ 都是正整数，且满足 。＋ ｚ２＋ ３＋ｚ４＋ｚ５－－．２：１ｚ２Ｘ３Ｘ４ｚ５，求西的最大值． 解：为了求ｚ。的最大值，由问题的对称性，不妨设 ｚ１≤ｚ２≤ｚ３≤ｚ４≤ｚ５． 由题设，得 一 【山２山３＿山４上 ５ 山＋ 【１山３＿山４ ＋ 山５ 山１山２山４山５ ＋ ——Ｌ＋——Ｌ≤—１＿＋—Ｌ＋—ｌ＿＋ ＋ 一 ３＂４Ｘ４４＂ Ｘ５．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．． ——— Ｚ４Ｘ５ ‘．． ４ｚ５≤３＋ｚ４＋西，． ．（ｚ４—１）（ｚ５—１）≤４． 若 ４—１，则 １一ｚ２一ｚ３一 一１．． ．４＋ｚ５一ｚ５，这 是不可能的，．’．ｚ ≠１． 。．．Ｘ４≥２，．‘．ｚ４—１≥１，．。．如一１≤４，．‘．ｚ５≤５． ‘．．柏的最大值为５，此时Ｘ１一ｚ２一ｚ３—１，Ｘ４—２． （责任编辑黄春香） ４７ Ｅ－ｍａｉｌ：ｚｘｊｘｅｋｌｋ＠１６３．ｅｏｍ。Ｉ
