2018-2019学年江苏省连云港市锦屏高级中学高二下学期期中数学(理)试题(解析版)

中数学（理）试题

一、填空题

1．若复数z满足iz12i，则|z|_________. 【答案】5

【解析】先求出复数z，再求模. 【详解】

由iz12i得z【点睛】

本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题.

2．连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为____. 【答案】

12i2i，则z22(1)25. i5 36【解析】计算出所有的基本事件数，并列举出事件“掷出的点数之和为8”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率. 【详解】

连续抛掷一颗骰子2次，基本事件的总数为6636，

其中事件“掷出的点数之和为8”所包含的基本事件有：2,6、3,5、4,4、5,3、

6,2，共5个，

因此，所求事件的概率为故答案为：【点睛】

本题考查古典概型概率的计算，一般要列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题. 3．若从2，3，6三个数中任取一个数记为a，再从剩余的两个数中任取一个数记为b，

5. 365. 36a是整数”的概率为____________． b1【答案】

3则“

【解析】利用古典概型公式直接计算即可.

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【详解】

解：取出数为a,b，所以可能为：2,3，2,6，3,2，2,6，6,2，6,3，共6种，满足故答案为：【点睛】

(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.

4．已知一组样本数据5，4，x，3，6的平均数为5，则该组数据的方差为_________．【答案】2

【解析】利用平均数得到x值，进而计算得到该组数据的方差. 【详解】 解：平均数为：方差S2a21是整数的有：6,2，6,3，共2种，所以，所求概率为：P＝ b631 3154x365，解得：x7， 512222255457535652 5故答案为：2 【点睛】

本题考查几个数据的平均数与方差，考查计算能力，属于基础题.

5．B，C 三所学校，4：5, 现用分层抽样的方法招募 n 名有 A，学生人数的比例为 3：志愿者，若在 A 学校恰好选出 9 名志愿者，那么 n =____． 【答案】36

【解析】利用分层抽样列方程求解即可. 【详解】

设A，B，C三所学校学生人数为：3x，4x，5x，则总人数为：12x， 所以，

9n，解得：n＝36. 3x12x故答案为：36. 【点睛】

本题主要考查了分层抽样的应用，属于基础题.

6．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值为___________.

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【答案】6

【解析】列出算法的每一步，可得出输出的k值. 【详解】

解不等式k27k100，解得2k5.

第一次循环，k112，不满足k27k100； 第二次循环，k213，不满足k27k100； 第三次循环，k314，不满足k27k100； 第四次循环，k415，不满足k27k100； 第五次循环，k516，满足k27k100. 因此，输出的k值为6. 故答案为：6. 【点睛】

本题考查利用程序框图计算程序输出的结果，一般将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题．

7．根据如图所示的伪代码，最后输出的结果是_________.

t1i3Whilei5ttiii1EndWhilePrintt【答案】60

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【解析】根据程序伪代码列出程序的每一步，进而可得出输出结果. 【详解】

i35成立，t133，i314； i45成立，t3412，i415； i55成立，t12560，i516； i65不成立，输出t的值为60.

故答案为：60. 【点睛】

本题考查利用程序的伪代码求算法的输出结果，一般将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题．

8．某班级50名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则成绩在60~80分的学生人数是_______．

【答案】25

【解析】由频率分布直方图求出成绩中60~80的频率，由此能求出成绩在60~80分的学生人数，得到答案. 【详解】

频率分布直方图得成绩60~80的频率为10.0100.030.010100.5， 所以成绩在60~80分的学生人数为500.525. 故答案为25. 【点睛】

本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质等基础知识，合理应用求解是解答的关键，着重考查了运算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题.

9．如图所示的流程图中，若输入的a，b分别为4，3，则输出的n的值为_______．

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【答案】3

【解析】由已知中的程序可知，该程序的功能是利用循环结构计算a,b的值并输出相应变量n的值，模拟程序的运用过程，分析循环中各变量的变化情况，即可得到答案。 【详解】

模拟程序的运行，可得a4,b3,n1， 满足条件ab，执行循环体a6,b6,n2， 满足条件ab，执行循环体a9,b12,n3， 此时，不满足条件ab，推出循环，输出n的值为3. 【点睛】

利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用；赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式.

10．在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E

中的概率为 ．

【答案】

 16【解析】试题分析：由题意可得：试验包含的所有事件是区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），面积 4×4=16，

则满足条件的事件表示以原点为圆心，以 1为半径的圆及其内部，面积是π，

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所以根据几何概型概率公式得到：【考点】几何概型．

．

点评：本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通

过两个图形的面积之比得到概率的值．本题可以以选择和填空形式出现．

11．已知z(z1)5i，则z . 【答案】125i

【解析】解：因为z(z1)5iabi(a2b21)5i，得到z125i 12．已知32223344L，34，，23，333343772626636332011n1mm20113，则2__________．

mnn【答案】2011

【解析】将前三个等式变形为3222333333，，2333332121313134443，由此可归纳出一个一般的等式，可得出m、n的值，进而可4334141n1的值. 2m计算出

【详解】

由题意可知，3222333333，，2323123133133134443， 4334141kk3（且）， k2kkN33k1k1由上可归纳得3k3mmn120113因此，2m2011，n20111，Q3201120113，2011. 2nnm2011故答案为：2011. 【点睛】

本题考查归纳推理的应用，解题时要将题中的等式变形，便于归纳出一般的等式，考查

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推理能力与计算能力，属于中等题.

13．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60o”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是______（填序号）．

①假设三个角都不大于60o； ②假设三个角都大于60o；

③假设三个角至多有一个大于60o； ④假设三个角至多有两个大于60o． 【答案】② 【解析】【详解】

“三角形的内角中至少有一个内角不大于60o ”时，用反证法证明命题：应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60o ”的否定是：三角形的三个内角都大于60o，故答案为②.

14．在平面中有命题：等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高．把此结论类比到空间的正三棱锥中有____________.

【答案】正三棱锥底面上任意一点到三个侧面的距离之和等于一个侧面上的高 【解析】将等腰三角形的底边类比为正三棱锥的底面，将等腰三角形的两腰类比为正三棱锥的三个侧面，由此可得出结论. 【详解】

将等腰三角形的底边类比为正三棱锥的底面，将等腰三角形的两腰类比为正三棱锥的三个侧面，

将平面中的命题“等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高”， 类比到空间的正三棱锥中有“正三棱锥底面上任意一点到三个侧面的距离之和等于一个侧面上的高”.

故答案为：正三棱锥底面上任意一点到三个侧面的距离之和等于一个侧面上的高. 【点睛】

本小题是一道类比推理问题，主要考查创新思维能力．事实上，平面几何中的不少定理、结论都可以类比推广到空间中去，值得我们进一步去探索和研究．

15．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，设aij(i,j∈N)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，如a42=8,若aij=2015，则i+j= ．

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【答案】

【解析】【详解】

由三角数表可以看出其奇数行中的数都是奇数，偶数行中的数都是偶数，

2015=2×1008-1，所以2015为第1008个奇数，又每一行奇数的个数就是行数，又前31个奇数行内奇数的个数的和为31131302961，即第31个奇数行的最后一个2奇数是961211921，前32个奇数行内奇数的个数的和为

321323121024，故2015在第32个奇数行内，所以i63，因为第63行的2第一个数为1923，则2015=1923+2（m-1），所以m47，即

j47ij6347110.

16．利用数学归纳法证明“111111111LL”2342n12nn1n22n时从“nk”变到“nk1”时，左边应增加的项是______________. 【答案】

11 2k12k2【解析】考查等式两侧的特点，写出左侧nk和nk1的表达式，进行比较，即可推出左边应增加的项． 【详解】

当nk时，等式为1当nk1时，等式为

11111111LL， 2342k12kk1k22k111111111LL，

2342k12k2k2k32k2因此，从“nk”变到“nk1”时，左边应增加的项是

1111111111111L1L2k12k22342k12k2k12k2234.

故答案为：【点睛】

本题考查数学归纳法的应用，考查数学归纳法证明问题的第二步，项的增加问题，注意

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11. 2k12k2表达式的形式特点，找出规律是关键，考查推理能力，属于基础题.

二、解答题

17．已知z是复数，z2i与

z2均为实数，且复数(zai)在复平面上对应的点在2i第一象限，求实数a的取值范围．

【答案】

【解析】试题分析：解：设zxyi(x，yR)，z2ix(y2)i为实数，

y2．

zx2i11(2x2)(x4)i为实数， 2i2i55x4，则z42i．

Q(zai)2(124aa2)8(a2)i在第一象限，

124aa20，{解得2a6． 8(a2)0，【考点】本题主要考查复数相等的充要条件，复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的运算，不等式组解法．

点评：主要运用复数的基础知识，具有一定综合性，中档题．

18．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F分别是B1C1，AB，AA1的中点.

(1) 求证：EF∥平面A1BD；

(2) 若A1B1＝A1C1，求证：平面A1BD⊥平面BB1C1C. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）首先证出EF∥A1B，利用线面平行的判定定理即可证出. （2）证出BB1⊥A1D，A1D⊥B1C1，利用面面垂直的判定定理即可证出. 【详解】

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因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.

因为EF⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，所以EF∥平面A1BD.

(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1，因为A1D⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1D. 因为A1B1＝A1C1，且D是B1C1的中点，所以A1D⊥B1C1.

因为BB1IB1C1＝B1，B1C1，BB1⊂平面BB1C1C，所以A1D⊥平面BB1C1C. 因为A1D⊂平面A1BD，所以平面A1BD⊥平面BB1C1C. 【点睛】

本题考查了线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，要证线面平行、需证线线平行，要证面面垂直、需证线线垂直、线面垂直，属于基础题. 19．设x,y,zR，且ax2y法证明：a,b,c至少有一个大于0． 【答案】见证明

【解析】用反证法，先假设结论不成立，即a0,b0,c0，得到abc0，再由题中条件求出abc的范围，推出矛盾，即可得结论成立. 【详解】

证明：（反证法） 假设结论不成立，即a0,b0,c0 abc0， 而abcx2y2222，by2z22，cz2x，用反证362y22z23z22x26

abcx1y1z130

这与abc0相矛盾 故a,b,c至少有一个大于0． 【点睛】

本题主要考查反证法，熟记反证的思想，即可求解，属于常考题型.

20．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若

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没有红球，则不获奖.求顾客抽奖1次能获奖的概率. 【答案】

7 10【解析】根据事件的概率求法,分别求得或一等奖概率和二等奖概率,结合事件与对立事件的性质即可求解. 【详解】

记事件A1{从甲箱中摸出的1个球是红球},

A2{从乙箱中摸出的1个球是红球}, B1{顾客抽奖1次获一等奖}, B2{顾客抽奖1次获二等奖},

C{顾客抽奖1次能获奖].

由题意知A1与A2相互,A1,A2与A互斥,B1与B2互斥, 1A2, 且B1A1A2,B2A1A2A2A2,CB1B2因为PA14251,PA2, 105102所以PB1PA1A2PA1PA2211, 525PB2PA1A2A1A2PA1A2PA1A2 PA1PA2PA1PA2

PA11PA21PA1PA2

2121111 52522故所求概率为PCPB1B2PB1PB2【点睛】

本题考查了事件概率的求法及性质的简单应用,对立事件的性质及简单应用，属于基础题.

21．是否存在实数

，使得等式

对于一切正整数都成立？

若存在，求出

的值；若不存在，说明理由.

117. 5210第 11 页 共 12 页

【答案】

【解析】利用数列的的分组求和法对等式左边的式子求和，然后根据对应项的系数相等可得答案. 【详解】

，

＝＝＝＝

+

＋

所以，，

.

【点睛】

本题考查数列分组求和方法的应用，考查等差数列的求和公式，属于基础题.

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