自动控制原理课后答案 5(1)

第五章 线性系统的频域分析与校正

习题与解答

5-1 试求题5-75图(a)、(b)网络的频率特性。

CR1R1urR2CucurR2uc

(a) (b)

图5-75 R-C网络

解 （a)依图：

Uc(s)Ur(s)R21sCR21R1sCR1K1(1s1)T1s1R2K1RR12 1R1CRRCT112R1R2 Ga(j)Uc(j)R2jR1R2CK(1j1)1

Ur(j)R1R2jR1R2C1jT1U(s) (b)依图：cUr(s)R21sC1R1R2sC2s1T2s12R2C T(RR)C122 Gb(j)

Uc(j)1jR2C1j2

Ur(j)1j(R1R2)C1jT2 5-2 某系统结构图如题5-76图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号作用时，系统的稳态输出cs(t)和稳态误差es(t) （1） r(t)sin2t

（2） r(t)sin(t30)2cos(2t45)

解 系统闭环传递函数为: (s)1 图5-76 系统结构图 s2频率特性: (j)12 j22j244

幅频特性: (j)142

相频特性: ()arctan(系统误差传递函数: e(s)) 21s1,

1G(s)s2则 e(j)1242,e(j)arctanarctan()

2（1）当r(t)sin2t时, 2，rm=1 则 (j)2120.35, (j2)arctan()45

28

8

2e(j2)arctan18.46e(j)250.79, cssrm(j2)sin(2t)0.35sin(2t45) essrme(j2)sin(2te)0.79sin(2t18.4)

 （2） 当 r(t)sin(t30)2cos(2t45)时: 50.455100.63511,22,rm11rm22

(j1)(j1)arctan(1)26.5 213 e(j1)e(j1)arctan()18.4

 cs(t)rm(j1)sin[t30(j1)]rm(j2)cos[2t45(j2)] 0.4sin(t3.4)0.7cos(2t90)

es(t)rme(j1)sin[t30e(j1)]rme(j2)cos[2t45e(j2)] 0.63sin(t48.4)1.58cos(2t26.6)

5-3 若系统单位阶跃响应



h(t)11.8e试求系统频率特性。 解 C(s)4t0.8e9t(t0)

11.80.836,R(s)1 ss4s9s(s4)(s9)则

C(s)R(s)(s)36(s4)(s9) 频率特性为 (j)36(j4)(j9)

5-4 绘制下列传递函数的幅相曲线：

(1)G(s)K/s (2)G(s)K/s2 (3)G(s)K/s3

解 (1)G(j)KKj()je2

0,G(j0) ,G(j)0

()2

幅频特性如图解5-4(a)。 (2)G(j)Kj()(j)2K2e

0,G(j0) ,G(j)0

() 幅频特性如图解5-4(b)。 (3)G(j)KKj(32)(j)33e 0,G(j0) ,G(j)0

s图解5-4

()3 2幅频特性如图解5-4(c)。

5-5 已知系统开环传递函数 G(s)H(s)10 2s(2s1)(s0.5s1)试分别计算 0.5 和2 时开环频率特性的幅值A()和相角()。

解 G(j)H(j)10

j(1j2)((12j0.5) A()101(2)2(1)(0.5)222

()90arctan2arctan0.5 21计算可得 

A(0.5)17.8885A(2)0.3835 

(0.5)153.435(2)327.53 5-6 试绘制下列传递函数的幅相曲线。

5

(2s1)(8s1)10(1s) (2) G(s) 2s (1) G(s)解 (1) G(j)5(116)(10)11222

G(j)tg2tg8tg取ω为不同值进行计算并描点画图，可以作出准确图形 三个特殊点： ① ω=0时， G(j)5, ② ω=0.25时, G(j)2, ③ ω=∞时, G(j)0,幅相特性曲线如图解5-6（1）所示。

110

1162G(j)00 G(j)90 G(j)1800

43210.80.60.4x 1010-1-20.20-0.2-0.4-0.6-3-4-1-0.8012Real Axis345-1-9-8-7-6-5-4Real Axis-3-2-1x 100 图解5-6（1）Nyquist图 图解5-6（2） Nyquist图

(2) G(j)101221

G(j)tg1800

,G(j)1800 ,G(j)900

两个特殊点： ① ω=0时， G(j) ② ω=∞时, G(j)0幅相特性曲线如图解5-6（2）所示。

5-7 已知系统开环传递函数 G(s)K(T2s1)； K,T1,T20

s(T1s1)当1时，G(j)180，G(j)0.5；当输入为单位速度信号时，系统的稳态误差1。试写出系统开环频率特性表达式G(j)。

解 G(s)K(T2s1)

s(T1s1)先绘制G0(s)K(T2s1)的幅相曲线，然后顺时针转180°即可得到G(j)幅相曲线。

s(T1s1)G0(s)的零极点分布图及幅相曲线分别如图解5-7(a)、(b)所示。G(s)的幅相曲线如图解

5-7(c)所示。

依题意有： KvlimsG(s)K， essv1K1，因此K1。

s0G(j1)arctanT290arctanT1180

TTarctanT1arctanT2arctan1290

1T1T2T1T21

1T1T2j(T1T2)(T1T2)另有： G(j1)(1jT2)(1jT1)0.5 2221T11T21T2T222T212T1T222T212T20

T232T22T22(T221)(T22)0

可得： T22，T11T20.5，K1。

1j2

j(1j0.5)所以： G(j)5-8 已知系统开环传递函数 G(s)10 2s(s1)(s1)试概略绘制系统开环幅相频率特性曲线。

解 G(j)的零极点分布图如图解5 -8(a)所示。

0变化时，有

G(j0)90 G(j1)135 G(1)315

G(j)0360

分析s平面各零极点矢量随0的变化趋势，可以绘出开环幅相曲线如图解5-8(b)所示。

5-9 绘制下列传递函数的渐近对数幅频特性曲线。 (1) G(s) (2) G(s) (3) G(s) (4) G(s)(5) G(s)

解 (1) G(s)2；

(2s1)(8s1)200；

s2(s1)(10s1)40(s0.5)

s(s0.2)(s2s1)20(3s1) 22s(6s1)(s4s25)(10s1)8(s0.1)

s(s2s1)(s24s25)2

(2s1)(8s1)

图解5-9（1） Bode图 Nyquist图

(2) G(s)200

s2(s1)(10s1)

图解5-9（2） Bode图 Nyquist图

(3) G(s)40(s0.5)2s(s0.2)(ss1)100(2s1)ss(1)(s2s1)0.2

图解5-9（3） Bode图 Nyquist图

(4) G(s)20(3s1)

s2(6s1)(s24s25)(10s1)20(3s1)25G(s) 2s42s(6s1)s1(10s1)525

图解5-9（4） Bode图 Nyquist图

0.81s18(s0.1)250.1 (5) G(s) 222s(ss1)(s4s25)142s(ss1)ss1525

图解5-9（5） Bode图 Nyquist图

5-10 若传递函数

G(s)KG0(s) sv式中，G0(s)为G(s)中，除比例和积分两种环节外的部分。试证 1K

式中，1为近似对数幅频特性曲线最左端直线（或其延长线）与0dB线交点的频率，如图5－77所示。

1v

K证 依题意，G(s)近似对数频率曲线最左端直线(或其延长线)对应的传递函数为v。

sK题意即要证明v的对数幅频曲线与0db交点处的频率值1Kv。因此，令

s120lgK(j)v0，可得

Kv11, 故 K,v11K，证毕。

1v 5-11 三个最小相角系统传递函数的近似对数幅频特性曲线分别如图5-78(a)、(b)和(c)所示。要求：

（1）写出对应的传递函数；

（2）概略绘制对应的对数相频特性曲线。

图 5－78 5－11题图

解 (a) 依图可写出：G(s)K(s11)(s

21)K100

其中参数：

20lgKL()40db，

则： G(s)100

11(s1)(s1)12

图解5-11（a） Bode图 Nyquist图

K( (b) 依图可写出 G(s)s1s1)

s2(K01C

221)

图解5-11（b） Bode图 Nyquist图

(c) G(s)Ks(s21)(s

31)1

20lgK10,K1

图解5-11（c） Bode图 Nyquist图

5-12 已知G1(s)、G2(s)和G3(s)均为最小相角传递函数，其近似对数幅频特性曲线如图5-79所示。试概略绘制传递函数 G4(s)G1(s)G2(s)

1G2(s)G3(s)的对数幅频、对数相频和幅相特性曲线。 解：(1)  L1()20lgK145.11 K1180

则： G1(s)K1

K2

ss(1)0.8K20 , K21 20lgK2/20lg1L3()20lgK320lg0.111K30 (3)  (2) G2(s)  (4) 图5-79 5-12题图 K3190.111G1G2

1G2G3,G3(s)K3s9s

G4(s)将G1,G2,G3代入得：G4(s)18

s(0.125s1)对数频率特性曲线如图解5-12(a)所示,幅相特性曲线如图解5-12(b)所示：

图解5-12 (a) Bode图 (b) Nyquist图

5-13 试根据奈氏判据，判断题5-80图(1)～(10)所示曲线对应闭环系统的稳定性。已知曲线(1)～(10)对应的开环传递函数如下（按自左至右顺序）。

解 题5-13计算结果列表 题号 1 开环传递函数 P 0 N 闭环 Z 稳定性 P2N2 不稳定 备注 G(s)K (T1s1)(T2s1)(T3s1)-1 2 G(s)K s(T1s1)(T2s1)0 0 0 稳定 3 G(s)K s2(Ts1)0 -1 2 不稳定

4 G(s)K(T1s1)s2(T2s1)(T1T2) 0 0 0 稳定 5 6 7 K s3K(T1s1)(T2s1)G(s) s3G(s)G(s)K(T5s1)(T6s1) s(T1s1)(T2s1)(T3s1)(T4s1)0 0 0 -1 0 0 2 0 0 不稳定 稳定 稳定 8 G(s)KT1s1KT1s1(K1) 1 1/2 0 稳定 9 G(s)(K1) 1 0 1 不稳定 10 G(s)K s(Ts1)1 -1/2 2 不稳定 5-14 已知系统开环传递函数，试根据奈氏判据，确定其闭环稳定的条件：

G(s)K； (K,T0)

s(Ts1)(s1)（1）T2时，K值的范围； （2）K10时，T值的范围； （3）K,T值的范围。

KK(1T)j(1T2) 解 G(j)X()Y() 222j(1j)(1jT)(1)(1T)令 Y()0，解出1T，代入X()表达式并令其绝对值小于1

X(得出： 0K1T)KT1 1T1T1 或 0T TK13（1）T2时，0K；

21（2）K10时，0T；

9（3）K,T值的范围如图解5-14中阴影部分所示。

5-15 已知系统开环传递函数

10(s22s5)G(s)

(s2)(s0.5)试概略绘制幅相特性曲线，并根据奈氏判据判定闭环系统的稳定性。

解 作出系统开环零极点分布图如图解5-15（a）所示。G(j)的起点、终点为： G(j0)50180 G(j)100

G(j)与实轴的交点：

10(52j2)G(j)(2j)(0.5j)2210(5)(1)3j(5.53.5)(12)2(1.5)222

令ImG(j)0 可解出

05.5/3.51.254

代入实部 ReG(j0)4.037

概略绘制幅相特性曲线如图解5-15（b）所示。根据奈氏判据有 ZP2N12(1)2 2所以闭环系统不稳定。

5-16 某系统的结构图和开环幅相曲线如图5-81 (a)、(b)所示。图中

1G(s)

s(1s)2,s3H(s)

(s1)2试判断闭环系统稳定性，并决定闭环特征方程正实部根个数。

s2 解 内回路开环传递函数: G0(s)G(s)H(s)

(s1)4G(j0)00 G(j0)01800

G(j)01800大致画出G0(j)的幅相曲线如图解5-16所示。可见G0(j)不会包围（-1,j0）点。 Z0P02N00200

即内回路小闭环一定稳定。内回路小闭环极点（即开环极点）在右半S平面的个数为0。 PZ00

由题5-16图(b)看出:系统开环频率特性包围（-1,j0）点的圈数 N=-1。根据劳斯判据 Z

5-17 已知系统开环传递函数 G(s)P2NZ12N02(1)2

系统不稳定，有两个闭环极点在右半S平面。

10

s(0.2s20.8s1)试根据奈氏判据确定闭环系统的稳定性。

解 作出系统开环零极点分布图如图解5-17(a)所示。

1010[0.8j(10.22)] G(j)

j(1j0.2)(1j)(12)(10.042)G(j)的起点、终点为：

G(j0)180 G(j0)270 G(j)0270 limRe[G(j)]8

0

幅相特性曲线G(j)与负实轴无交点。由于惯性环节的时间常数T10.2，小于不稳定惯性环节的时间常数T21，故()呈现先增大后减小的变化趋势。绘出幅相特性曲线如图解5-17(b)所示。根据奈氏判据 ZP2N12(表明闭环系统不稳定。

1)2 2

5-18 已知单位反馈系统的开环传递函数，试判断闭环系统的稳定性。 G(s)10

s2s(s1)(1)4解 作出系统开环零极点分布图如图解5-18(a)所示。当0变化时，G(j)的变化趋势：

G(j0)0 G(j0)90 G(j2)153.4 G(j2)333.4 G(j)0360

绘出幅相特性曲线G(j)如图解5-18(b)所示。根据奈氏判据 ZP2N02(1)2 表明闭环系统不稳定。



5-19 已知反馈系统，其开环传递函数为

100

s(0.2s1)50G(s) (2)

(0.2s1)(s2)(s0.5)10 (3) G(s)

s(0.1s1)(0.25s1)s100(1)2 (4) G(s) sss(s1)(1)(1)1020 (1) G(s)试用奈氏判据或对数稳定判据判断闭环系统的稳定性，并确定系统的相角裕度和幅值裕度。 解 (1) G(s)100100

s(0.2s1)s(s1)5C510022.36画Bode图得：

g1800G(j)1800900tg10.2C12.60h1G(g)

图解5-19 (1) Bode图 Nyquist图

(2) G(s)5050

(0.2s1)(s2)(s0.5)(s1)(s1)(2s1)52画Bode图判定稳定性：Z=P-2N=0-2×(-1)=2 系统不稳定。 由Bode图得：c6

令： G(j)150cc525 解得 c6.3

2c1令： G(jg)tg1gtgg2tg12g1800 解得 g3.7

1800G(j)1800tg11G(g)(C5tg1C2tg12C29.40

g5)1(2gh250)21(2g)210.391

图解5-19 (2) Bode图 Nyquist图

(3) G(s)1010

s(0.1s1)(0.25s1)s(s1)(s1)104C4106.325画Bode图得：g4106.325

00 系统临界稳定。 h1

图解5-19 (3) Bode图 Nyquist图

s100(1)2 (4) G(s) sss(s1)(1)(1)1020c21.5画Bode图得：

13.1g180(c)24.8 h0.3439.3(dB) 系统不稳定。

5-20 设单位反馈控制系统的开环传递函数为

图解5-19(4) Bode图

G(s)试确定相角裕度为45°时的α值。 as1 s21(a)2 解 G(j)12(tga1800)

开环幅相曲线如图所示。以原点为圆心作单位圆，在Ａ点： A()1a22c21

c即： 422cac1 (1) 要求相位裕度 1800(0c)45

即： ()tg1a45018001350cc180

ac1 (2)

联立求解（1）、（2）两式得：c1.19， a0.84。

5-21 在已知系统中 G(s)10s(s1),H(s)1Khs

试确定闭环系统临界稳定时的Kh。 解 开环系统传递函数为 G(s)H(s)10(1Khs)s(s1)

解法(一):画伯特图如图解5-21所示

图解5-21

G(j)H(j)10(Khj1)j(j1)

00110临界稳定时 (c)90180tgctgKhc180 110 tgctgKhc90

cKhc

1cKhc2 1Khc0 Kh1c2

由Bode图 c3.16 Kh0.1

法(二) G(j)H(j)10(1Khj)u()jv()

j(j1)10(1Kh)10(Kh21) u() ; v() 22(1)(1)2令 v()0 , 则 10(Kh1)0 21Kh

1 (1) Kh10(1Kh)1

(21)又令 u()代入(1)得： 10(1Kh)(211) Kh 10Kh9Kh10 解出： Kh91211 Kh2010,Kh1（舍去）。

故当10 1/秒，Kh110时，系统临界稳定。

Ke0.8s 5-22 若单位反馈系统的开环传递函数G(s)，试确定使系统稳定的K的临界

s1值。

解 G(j)Kej0.8

1jK1j0.82幅频特性为 G(j)相频特性为 ()e

10.8tg1()

1j求幅相特性通过(-1,j0)点时的Ｋ值 即 G(j)K121 (1)

1 ()G(j)0.8tg (2) 由(2)式 tg0.8

tg(tg)tg(0.8)tg0.8 tg0.8 代入(1)：

11K1[tg(0.8)]21

K1[tg(0.8)]2sec0.8

解出 : c2.45,K2.65

5-23 设单位反馈系统的开环传递函数

5s2es G(s) 4(s1)试确定闭环系统稳定的延迟时间τ的范围。

521 (1) 解 令 G(j)(12)2 G(j)180由(1): 15

解得： 11.618, 20.618(舍去） 将ω=0.618代入(2)式： 201804tg11800 (2)

18036004tg1

解得：τ=1.3686,由图可见：当τ〈1.3686时，G(jω)不包围(-1,j0)点,所以的稳定范围是： 0<τ<1.3686

5-24 某最小相角系统的开环对数幅频特性如图5-82所示。要求 （1）写出系统开环传递函数； （2）利用相角裕度判断系统的稳定性；

（3） 将其对数幅频特性向右平移十倍频程，试讨论对系统性能的影响。 解（1）由题5-29图可以写出系统开环传递函数如下： G(s)10sss(1)(1)0.120

（2）系统的开环相频特性为 ()90arctan截止频率 c故系统稳定。

（3）将其对数幅频特性向右平移十倍频程后，可得系统新的开环传递函数

0.1arctan20

0.1101

相角裕度 180(c)2.85

G(s)100

ss(s1)(1)200其截止频率 c110c10

而相角裕度 1180(c1)2.85 故系统稳定性不变。由时域指标估算公式可得

1 oo0.160.4(1)=1oo

sintsK0cK00.1ts1

10c1所以，系统的超调量不变，调节时间缩短，动态响应加快。