一元二次方程之韦达定理

一对一个性化辅导教师授课学案

学生姓名 总课时数 本次课课题 教学目标 年级 第几次课 初三 3 科目 授课时间 数学 授课老师 审核人 相老师 一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 韦达定理 授课内容 对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当则是教 学 内 容 ，时，那么的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。 一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。 例1：已知关于的方程（1）实数根，且关于的方程（2）数时，方程（1）有整数解？ 有两个不相等的没有实数根，问取什么整成功来自于彻底的自我管理和毅力。

青出于蓝，而胜于蓝

分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。 说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。 二、判别一元二次方程两根的符号。 例1：不解方程，判别方程两根的符号。 分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定 或的正负情况。因此 或的正负解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定情况。 说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中一负；倘若是两个负根。 成功来自于彻底的自我管理和毅力。

＜0，所以可判定方程的根为一正的正负，方可判别方程是两个正根还＞0，仍需考虑青出于蓝，而胜于蓝

三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 例2：已知方程的值。 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原的一个根为2，求另一个根及方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。 说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。 例3：已知方程方和比两根的积大21，求的值。 有两个实数根，且两个根的平分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。 说明：当求出合题意的。 后，还需注意隐含条件，应舍去不四、运用判别式及根与系数的关系解题。 例5：已知、个非零实数根，问和是关于的一元二次方程能否同号？若能同号，请求出相应的的两的取值范围；若不能同号，请说明理由， 成功来自于彻底的自我管理和毅力。

青出于蓝，而胜于蓝

说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。 六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。 例：已知、值。 分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。 说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。 有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。 七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。 例8：已知两方程和至少有是方程的两个实数根，求的一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。 分析：当设两方程的相同根为时，根据根的意义，可以构成关于和的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。 说明：（1）本题的易错点为忽略对常常除了犯有默认的讨论和判别式的作用，的错误，甚至还会得出并不存在的解： 成功来自于彻底的自我管理和毅力。

青出于蓝，而胜于蓝

当时，，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根的相乘积为：； （2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件： 且另外还应注意：求得的 的值必须满足这两个不等式才有意义。 1、如果关于的方程的两根之差为2，那么 。 2、已知关于的一元二次方程则 。 3、已知关于的方程113，则x1x24两根互为倒数，的两根为，且 。 当堂练习 4、已知是方程的两个根，那么： ； ； 。 5、已知关于的一元二次方程，则 ； 。 的两根为和，且成功来自于彻底的自我管理和毅力。

青出于蓝，而胜于蓝

6、如果关于的一元二次方程另一个根是 ，的值为 。 7、已知是的一根，则另一根为 ，的值为 。 的一个根是，那么8、一个一元二次方程的两个根是程为： 。 二、求值题： 1、已知求和，那么这个一元二次方是方程2x23x10的两个根，利用根与系数的关系，的值。 2、已知求是方程的值。 的两个根，利用根与系数的关系，3、已知求是方程的值。 的两个根，利用根与系数的关系，4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。 5、已知关于x的方程，求的值及方程的两个根。 的两根满足关系式6、已知方程的值及这个相同的根。 三、能力提升题： 和有一个相同的根，求1、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根？ 成功来自于彻底的自我管理和毅力。

青出于蓝，而胜于蓝

12、已知关于的一元二次方程x2(m2)xm30 2（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。 、满足，求的值。 （2）若这个方程的两个实数根3、若数根，求1，关于的方程x2(m2n)xmn0有两个相等的正的实4m的值。 n4、是否存在实数，使关于的方程，满足的两个实根x13，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存x22在，请说明理由。 5、已知关于的一元二次方程数根为，若m11，求x1x2（的值。 ）的两实6、实数数式、分别满足方程和，求代mn4m1的值。 . n课后作业 教师填写 1、学生课堂表现 2、作业完成情况 很积极 完成率 特别满意 一般 满意 正确率 一般 差 学生签字 不积极 课后反馈 3、学生对本次课 学生填写 的评价 配合需求： 1、需要家长 2、需要班主任

成功来自于彻底的自我管理和毅力。