中考数学一轮复习一元二次方程复习创新题

一元二次方程复习创新题

近年来，中考试题更加灵活和开放，更加注重应用和创新，思路正更成熟、更开阔，正从立意、情境等方面努力，不仅使试题设计有更多的创新，也通过试题更好地鼓励学生创新现以一元二次方程中的创新题为例加以说明。 1.定义新运算型

例1 在正数范围内定义一种运算“*”，其规则为：

a*b113，根据这一规则，方程x*(x1)的解是 （ ） ab2222 B. x1 C. x1或x21 D. x1或x21 333 A.x

解析：通过阅读理解定义运算规则，学会在变化了的情境中运用“双基”解决问题，着眼于发展能力，这是考查学生素质的一种新题型。 由规则得

113 xx122，x21 3 解之得x1 x为正数，x1，故应选B。 2.完形选择填空型

例2 先从括号内①②③④备选项中选出合适的一项，填在横线上，将题目补充完整后再解答。 （1）如果a是关于x的方程xbxa0的根，并且a0，求________的值。 ①ab

②

2b a2 ③ab ④ab

（2）已知7x5y12xy，且xy0，求________的值。

2 ①xy ②

x y

③xy

④xy

解析：留空回填，完善试题，类似英语中的完形填空题，是中考题中新的亮点，解答这类问题应着眼于题设条件，看能推出何种结果。

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对于第（1）题，直接由一元二次方程根的定义，得a2baa0 a0ab10

即ab1，因此选填③

对于第（2）题，可将7x5y12xy恒等变形并分解因式，得 (xy)(7x5y)0

22 xy0xx51或 yy7 故应选填② 3. 阅读理解型

例3 阅读下列例题：解方程x|x|20 解：（1）当x0时， 原方程化为xx20

解之，得x12，x21（不合题意，舍去） （2）当x<0时，

原方程化为xx20，

解之，得x12，x21（不合题意，舍去） 原方程的解是x12，x22.

请参照例题解方程x|x1|10，则此方程的根是____________。

解析：以例题的形式给出阅读材料，并在解题过程中暗示解题的思路技巧：通过分类、讨论，去掉绝对值符号，将含绝对值的方程转化为一元二次方程。 （1）当x10，即x1时，

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2222

原方程化为x2x0， 解得x11，x20（舍去）， （2）当x10，即x1时， 原方程化为x2x20， 解得x12，x21（舍去）， 原方程的解为x11，x22。

例4 阅读理解：符号“的计算方法为

”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：=ad-bc，例如

=3×4-2×5=12-10=2.

请根据阅读理解求满足下列条件的a值：

.

解析：由题意，得 =a+a+1.

∴ a+a+1=3. ∴ a+a-2=0. ∴ （a+2）（a-1）=0 . ∴ a1=-2，a2=1. 当a=1时，

2

2

2

1没有意义. 1a ∴a的值为-2. 4.判断改错型

例5 已知关于x的方程(k1)x(2k3)xk10有两个不相等的实根x1、x2。 （1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。 解：（1）根据题意，得

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2

(2k3)4(k1)(k1)

2

4k212k94k2412k130

k1313，即当k时，方程有两个不相等的实数根 1212 （2）存在。如果方程的两实根互为相反数 则有x1x2 解得k2k30， k13， 232k3是0的解，

k12 检验知，k 所以当k3时， 2 方程的两实数根x1、x2互为相反数。

当你读了上面的解答过程后，请判断是否有错误？如果有，请指出错误之处，并直接写出正确的答案。 （1）中忽略了k10这一条件，

若k10，方程为一元一次方程，只有一个实数根，正确答案为： 当k13且k1时，方程有两个不相等的实数根。 123时，判别式50，方程没有实数根。 2 （2）中的实数k不存在，当k 应为：不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数。 5、推陈出新的计算题

例6 已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程： x-1=0 <1> x+x-2=0 <2> x+2x-3=0 <3> ……

x+（n-1）x-n=0

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2222

（1）请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>……；

（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可. 解：（1）<1> （x+1）（x-1）=0， 所以x1=-1，x2=1. <2> （x+2）（x-1）=0， 所以x1=-2，x2=1. <3> （x+3）（x-1）=0， 所以x1=-3，x2=1. ……

（x+n）（x-1）=0， 所以x1=-n，x2=1.

（2）共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等.

点评 本题以一元二次方程为载体，考查同学们的观察能力，从测试的角度看，本题可检测不同思维层次的学生.本题只要把握住等号左边可分解因式的二次三项式的特征即可解决. 6.自编应用型

例7 编一道关于增长率的一元二次方程应用题，并解答。

编题要求：①题目完整，题意清楚；②题意与方程的解都要符合实际。

解析：这类考题，一方面让学生参与编题活动，另一方面旨在考查学生的逆向思维能力，它能培养学生的创新实际能力。首先确定一个与增长率有关的一元二次方程（如3000(1x)3630），其次依据方程就可编拟符合实际意义的应用题。

如：某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨，平均每年增产的百分率是多少？ 解：设平均每年增产的百分率是x，由题意，得 3000(1x)3630

22(1x)2121.，1x11.

x101.，x221.（不合题意，舍去） 所以只能取x01.10%，即平均每年增产的百分率是10%。 7、时代气息浓郁的应用型

例8 某工厂从今年1月份起，每月生产收入是22万元，但在生产过程中会引起环境污染，若再按现状生产，将会受到环保部门的处罚，每月罚款2万元；如果投资111万元治理污染，治污系统可在1月份启用，这样，该厂不但不受处罚，还可降低生产成本，使1至3月份的生产收入以相同的百分率逐月增长. 经测算，投资治污后，1月份生产收入为25万元，1至3月份的生产累计收入可达91万元；3月份以后，

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每月生产收入稳定在3月份的水平.

（1）求出投资治污后，2月、3月每月生产收入增长的百分率；

（2）如果把利润看作是生产累计收入减去治理污染的投资额或环保部门的罚款额，试问：治理污染多少个月后，所投资金开始见成效？（即治污后所获利润不小于不治污情况下所获利润）

【分析】 求解（2）时可在（1）的基础上先算出3月份的生产收入，然后再设出未知数求解.其中如果不 投资治污每月收入22万元，但要受到环保部门罚款2万元，相当于每月收入20万元. 解：（1）设2月、3月每月生产收入增长的百分率为x，根据题意，得 25［1+（1+x）+（1+x）］=91整理，得 x+3x-0.64=0，（x+3.2）（x-0.2）=0. ∴ x1=-3.2，x2=0.2=20% . ∵ x=-3.2不合题意，故舍去.

答：2月、3月每月生产收入增长的百分率为20%.

（2） 显然，3月份的生产收入为25×（1+20%）=25×1.44=36（万元）. 设治理污染y个月后，所投资金开始见成效，根据题意，得 91+36（y-3）-111≥（22-2）y. 解之，得y≥8.

答：治理污染8个月后，所投资金开始见成效.

2

2

2

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