(教学案)3.1.1实数指数幂及其运算Word版含解析

【教学设计理念：】新课标、高中数学课程标准中的数学学科核心素养 1、新课程理念 ——“倡导开放互动的教学方式和合作探究性的学习方式〞

2、高中数学课程标准中的数学学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数算、直观想象、数据分析．

本节课的设计思想：是尊重学生的思维，让学生的思维得到最大限度的肯定和优化，创立积极的课堂互动环境，关注开展学生数学素养。

【内容分析：】?指数与指数幂的运算?是根本初等函数的起始课，它除了需要对本章节的内容进行一个简单的介绍外，还需要通过实际的例子感受学习指数函数、对数函数、幂函数这三类重要且常用的根本初等函数的必要性。本节课的主要内容是：通过实际问题引出分数指数幂，说明扩张指数取值范围的必要性，并由此先将平方根与立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念。在本节课的根底上，后面的课时还将进一步探究分数指数幂及其运算性质，最后通过有理数指数幂逼近无理数指数幂，将指数范围扩充到实数。由此可见，本节课有承上启下的作用，既联系了初中已学的数的平方、开方、二次根式的概念以及整数指数幂及运算法那么，同时为后面学习分数指数幂的进一步扩充及指数函数打下根底。 【学情分析：】学生在学习第一章?集合与函数?后，对研究函数的方法，有了初步的认知，知道函数的研究共性，如研究函数的三要素、函数的图像、函数的性质，以及函数的应用等等，加上初中对一次函数、二次函数、反比例函数等函数有了一定的学习根底，因此，要进一步引导学生用函数的共性去学习根本初等函数，这样，学生的学习方向会进一步明确，知识的生成也变得自然，便于学生的理解掌握。函数是高中数学的难点内容，学生在学习过程中难免会出现困难，通过课堂中的新旧知识互动、师生互动、生生互动，加强学生在探究问题的能力和合作交流的意识，可以增强学生的数学自信. 【教学目标：】 1、通过具体的情境了解指数函数模型的实际背景，认识学习指数函数的必要性； 2、通过对平方根、立方根及其运算性质的推广，理解n次方根和n次根式的概念，通过类比、辨析，培养学生自主探究意识，感受分类讨论的思想； 3、理解根式和分数指数幂的概念及分数指数幂的运算性质，培养学生观察分析、抽象的能力

【教学重点：】根式的概念及n次方根的性质；分数指数幂的意义及运算性质.

突破策略：类比整数指数幂等学生已学的知识，在学生的最近开展区域延伸. 【教学难点：】根式及分数指数幂概念的理解.

突破策略： 通过实际具体例子，帮助学生理解. 【教学工具：】多媒体课件PPT.

教学 环节 教学内容 设计意图 引导学生用函数的共性去学习根本初等函数，这样，学生的学习方向会进一步明确，知识的生成也变得自然，便于学生的理解掌握. 通过实际问题引出分数指数幂，说明扩张指数取值范围的必要性和学习指数函数、对数函数、幂函数这三类重要且常用的根本初等函数的必要性. 新旧知识的自然过渡. 互动 方式 学生 思考 发现 新旧 知识 的联 系. 师生 互动 一、 新课引入 〔一〕本章知识结构介绍 指数与指数幂的运算指数函数指数函数及其性质对数也对数运算基本初等函数对数函数对数函数及其性质幂函数(二)情景引入 1.问题: 当生物体死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期〞.根据此规律,人们获得了生物体内含量P与死亡年数t之间的关系： 1P2t5730 〔1〕当生物死亡了5730年后，它体内的碳14含量P的值为1 221〔2〕当生物死亡了5730×2年后，它体内的碳14含量P的值为 2〔3〕当生物死亡了6000年后，它体内的碳14含量P的值为1260005730 〔4〕当生物死亡了10000年后，它体内的碳14含量P的值为12100005730 二、自主探索获得〔一〕提出问题〔回忆初中时的整数指数幂及运算性质〕. 通过回忆anaaaa,a01(a0) 正整数指数幂及其性质，1唤起学生的00无意义；ann(a0) 记忆，并为后a续学习打好mnmnmnmnnmmnnnnaaa;(a)a (a)a,(ab)ab 根底. 师生 互动 新知 教学 环节 问题：什么叫实数？正整数指数幂及运算性质可以推广吗？ 教学内容 设计意图 互动 方式 师生 互动 提问 讲授 例1， 帮助 学生 理解 根式 的性 质 二、自主探索获得新知 〔二〕根式 1、平方根 假设x2a，那么x叫做a的平方根. (a) 如：4的平方根为2. 注：非负数才有平方根，正数的平方根有两个. 2、立方根 假设x3a，那么x叫做a的立方根. (3a) 如：8的平方根为 . 8的立方根为 . 注：任意实数都有立方根，每个数的立方根只有一个. 3. n次方根 n*定义：假设xa(n1,且nN)，那么x叫做a的n次学生思考，教师请学生解答并说明理由， 进一步理解n 次方根的意义和性质。 方根. 负数没有偶数方根. 式子a叫根式，n叫根指数，a叫被开方数. 例1.求以下各式的值. （1）3n(8)3; (2)(10)2; (3)n4(3)4; (4)n(ab)2(ab). 提出问题：探究：ana一定成立吗？an等于什么？ 性质： na(n为奇数时) aa(n为偶数时）n4例如，16的四次方根为 ，16 ，4(2)4 . 〔三〕分数指数幂 观察以下式子，并总结出规律：a＞0 5a(a)aa510252105. . 4a(a)aa412343124小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，〔分数指数幂形式〕 根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式. 教学 环节 老师引导学生。当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.〞从而推广到正数的分数指数幂的意义. 师生互动 教学内容 设计意图 结合分数指数幂、整数指数幂，引导得出分数指数幂. 互动 方式 生生互动讲题 二、自主探索获得新知 三、 合作 探究 拓展 深化 分数指数幂 整数指数幂 am(mN*) N次方根式mnna (nN*)n 规定：aam (a0，m、nN*，且n1) amn1amn1n (a0，m、nN，且n1) *ma练习：P，题1 〔同桌合作，每人两小题，相互交流〕 学生通过练习.实践探索后，自主的归纳提炼，要尊重学生的思维，学生各抒己见. 例2采用四人213小组合作的形1165324式。每人一题，例2〔书P51例2〕 求值： 8;25;();() 281完成后相互讨论讲题. 【小结】分数指数幂求值时，尽可能分解底数. 观察小组讨论例3〔书P52例4〕 计算以下格式〔式中字母都是正数〕： 的情况，让做得比拟优秀的211511小组讲题，进〔1〕(2a3b2)(6a2b3)(3a6b6); 行鼓励教育. 31 884(2) (mn). 例3师生共同完成，标准格【小结】根式化简时，化为分数指数幂，同底合并. 式. 分数指数幂性质： rsrs① aaa (a0，r、sQ) rsrs② aaa (a0，r、sQ) ③ (ar)sars (a0，r、sQ) rrr④ (ab)ab (a0，b0，rQ) 【例题讲解】 化简求值〔根式与分数指数幂互化〕 小组讨论 生生互动 合作探究相互评价 师生互动 四、 小结归纳 师生 己的语言，对互动 课堂内容进行生生 归纳总结，加互动 鼓励学生用自深记忆. 五、 作业 个人 教学风格

?学案?P39-40 在课堂气氛上，营造轻松积极的课堂环境，在困惑处进行点拨，尊重学生的 思维，重视学生经历自主思维的过程，让不同学生的思考方法都得到充分的重视与优化；在教材的处理上，善于抓住每节课的重点难点，难点分散到位，让数学问题得到深入浅出的解答，便于学生的理解与掌握。在探索中，逐渐形成与学生融入度高，轻松、幽默、高效的教学风格.