反函数·典型例题精析

2．4 反函数·例题解析

【例1】求下列函数的反函数：

3x51(x≠－)．2x12(2)y＝x2－2x＋3，x∈(－∞，0]． (1)y＝1(x≤0)．x21x+1(－1≤x≤0) (4)y＝－x(0＜x≤1) (3)y＝3x513解 (1)∵y＝(x≠－)，∴y≠，2x1223x5由y＝得(2y－3)x＝－y－5，2x1y5y53∴x＝所求反函数为y＝(x≠)．32y32y2

解 (2)∵y＝(x－1)2＋2，x∈(－∞，0]其值域为y∈[2，＋∞)，

由y＝(x－1)2＋2(x≤0)，得x－1＝－y2，即x＝1－y2∴反函数为f1(x)＝1－x2，(x≥2)．

1(x≤0)，它的值域为0＜y≤1，2x111y由y＝2得x＝－，yx1解 (3)∵y＝∴反函数为f1(x)＝－1x(0＜x≤1)．x

解 (4)由y＝x1(－1≤x≤0)，得值域0≤y≤1，反函数f1(x)＝x2－1(0≤x≤1)．由y＝－x(0＜x≤1)，

得值域－1≤y＜0，反函数f1(x)＝x2(－1≤x＜0)，2x－1(0≤x≤1) 故所求反函数为y＝2．(－1≤x＜0)x

【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．

(1)y＝x1－1(2)y＝－3x2－2(x≤0)

解 (1)∵已知函数的定义域是x≥1，∴值域为y≥－1，

由y＝x1－1，得反函数y＝(x＋1)2＋1(x≥－1)．函数y＝x1－1与它的反函数y＝(x＋1)2＋1的图像如图2．4－1所示．

解 (2)由y＝－3x2－2(x≤0)得值域y≤－2，

反函数f1(x)＝－x2(x≤－2)．3

它们的图像如图2．4－2所示．

3x11(x≠－a，a≠)．xa3

【例3】已知函数f(x)＝(1)求它的反函数；(2)求使f-1(x)＝f(x)的实数a的值．

3x1解(1)设y＝，∴x≠－a，xa∵y(x＋a)＝3x＋1，(y－3)x＝1－ay，这里y≠3， 11若y＝3，则a＝这与已知a≠矛盾，331ay1ax∴x＝，，即反函数f1(x)＝．y3x3

3x11ax＝对定义域内一切x的值恒成立，xax3

(2)若f(x)＝f1(x)，即

令x＝0，∴a＝－3．

或解 由f(x)＝f-1(x)，那么函数f(x)与f-1(x)的定义域和值域相同，定义域是{x|x≠a，x∈R}，值域y∈{y|y≠3，y∈R}，∴－a＝3即a＝－3．

axb中，a、b、c、d均不为零，cxd

【例4】已知函数y＝f(x)＝试求a、b、c、d满足什么条件时，它的反函数仍是自身．

abcad解 f(x)＝＋，∵常数函数没有反函数，cc(cxd)dxb∴bc－ad≠0．又f1(x)＝，cxadxbaxb要使＝，对定义域内一切x值恒成立，cxacxd

令x＝0，得－a＝d，即a＋d＝0．

事实上，当a＋d＝0时，必有f-1(x)＝f(x)，

因此所求的条件是bc－ad≠0，且a＋d＝0．

【例5】设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax2＋b(x≥0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f-1(x)，(2)证明f-1(x)在其定义域内是减函数．

1解法(二) 解(1)由2＝a＋b a＝－3 1271＝4a＋b得7，∴f(x)＝－3x＋3(x≥0)b＝3证(2)由y＝－13x2＋73(x≥0)得反函数f1(x)＝73x(x≤73)．

设x71＜x2≤3，∴7－3x1＞7－3x2≥0，∴73x1＞x3x2，即f1(x11)＞f(x2)，故f1(x)在(－∞，73]上是减函数．

【例6】若函数f(x)＝x1x2，求f1(2)的值．解法(一)先求函数f(x)＝x112xx2的反函数f1(x)＝1x，于是f1(2)＝12212＝－5－32． y＝f(x)与其反函数y＝f-1(x)之间的一一对应关

系，求f1(2)的值，就是求f(x)＝2时对应的x的值，∴令x1x2＝2，得x＝－5－32，即f1(2)＝－5－32．【例7】已知a∈R，且a≠0，a≠1．设函数f(x)＝x1ax1(x∈R且x≠1a)，证明y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称．

由函数

x1，a≠0，a≠1，得(ay－1)x＝y－1，ax11如果ay－1＝0，则y＝，a1x1∴＝得a＝1，这与已知a≠1矛盾，aax1 证 由y＝y1x1，∴f1(x)＝，ay1ax1∴ay－1≠0，故x＝即证得f(x)＝x1的反函数就是它本身．ax1

因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y＝x对称，

∴函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称．