3-2-1 直线的方向向量和平面的法向量

一、选择题

10．对于任意空间向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，给出下列三个命题：

a1a2a3

①a∥b⇔b＝b＝b；

123

②若a1＝a2＝a3＝1，则a为单位向量； ③a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 其中真命题的个数为( )

A．0 B．1 C．2 D．3 [答案] B

a1a2a3[解析] 由b＝b＝b⇒a∥b，反之不一定成立，故①不正确；②

123

显然错误；③是正确的，故选B.

11．已知空间四边形ABCD中，AC＝BD，顺次连接各边中点P、Q、R、S，如下图，所得图形是( )

A．长方形 C．梯形

B．正方形 D．菱形

[答案] D

→→→1→1→1→

[解析] ∵PQ＝BQ－BP＝2BC－2BA＝2AC. →1→→→同理SR＝2AC，∴PQ＝SR， ∴四边形PQRS为平行四边形， →→→1→1→1→又∵PS＝AS－AP＝2AD－2AB＝2BD， →1→1

∴|PS|＝2|BD|，即PS＝2BD， →1→1

又|PQ|＝2|AC|，∴PQ＝2AC，

∵AC＝BD，∴PS＝PQ，∴四边形ABCD为菱形． 二、填空题

12．直线l1与l2不重合，直线l1的方向向量v1＝(－1,1,2)，直线l2的方向向量为v2＝(2,0,1)，则直线l1与l2的位置关系是________．

[答案] 垂直

[解析] ∵v1·v2＝－2＋0＋2＝0， ∴v1⊥v2. ∴l1⊥l2，

13．已知空间直角坐标系O－xyz中的点A(1,1,1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点，则点P的坐标满足的条件为________．

[答案] x＋y＋z＝3

→

[解析] 由题意知，OA⊥α，直线OA的方向向量OA＝(1,1,1)，

→→

因为P∈α，∴OA⊥AP， ∴(1,1,1)·(x－1，y－1，z－1)＝0， ∴x＋y＋z＝3. 三、解答题

14．设a，b分别是不重合的直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系；

(1)a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)； (2)a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)；

(3)a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)． [解析] (1)∵a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)， ∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2. (2)∵a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)， ∴a·b＝0，a⊥b，∴l1⊥l2.

(3)∵a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)， ∴a与b不共线也不垂直． ∴l1与l2相交或异面．

15．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，1

BD的中点，G在棱CD上，且CG＝4CD，H是C1G的中点，应用空间向量解决下列问题：

(1)求证：EF⊥B1C；

(2)求EF与C1G所成角的余弦值； (3)求FH的长． [解析] (1)证明：

如图，建立空间直角坐标系O－xyz，D为坐标原点O，依已知111

条件有：E(0,0，2)，F(2，2，0)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G(0，3

4，0)．

→→111111

EF＝(2，2，0)－(0,0，2)＝(2，2，－2)，B1C＝(0,1,0)－(1,1,1)→→111

＝(－1,0，－1)，EF·B1C＝2×(－1)＋2×0＋(－2)×(－1)＝0，

→→

得EF⊥B1C，所以EF⊥B1C.

→31

(2)解：C1G＝(0，4，0)－(0,1,1)＝(0，－4，－1)， →|C1G|＝

117

02＋－42＋－12＝4. →→31212123

2＋2＋－2＝2，且EF·C1G＝8，

→

由(1)得，|EF|＝

→→

→→EF·C1G51

所以cos〈EF，C1G〉＝＝17.

→→|EF||C1G|

51

所以EF与C1G所成角的余弦值为17. (3)解：H是C1G的中点， 7111

所以H(0，8，2)．又F(2，2，0)， →

故FH＝|FH|＝16.

1711410－22＋8－22＋2－02＝8.

如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．

(1)求BN的长；

(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．

→→→

[解析] 如图，以CA，CB，CC1为正交基底建立空间直角坐标系C－xyz.

(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，

→

∴|BN|＝1－02＋0－12＋1－02＝3， ∴线段BN的长为3.

(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)， →→

∴BA1＝(1，－1,2)，CB1＝(0,1,2)， →→∴BA1·CB1＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. →→

又|BA1|＝6，|CB1|＝5，

→→

→→BA1·CB130

∴cos〈BA1，CB1〉＝＝10.

→→|BA1||CB1|30

故A1B与B1C所成角的余弦值为10. [点评] 在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．