2021年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题 解析版

【试卷点评】

【命题特点】

2017 年江苏高考数学试卷，在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新，对数据处理能力、应用意识的要求比以往有所提高。2017 年江苏数学试卷在“稳中求进”中具体知识点有变化。

1.体现新课标理念，实现平稳过渡。试卷紧扣江苏考试大纲，新增内容的考查主要是对基本概念、 基本公式、基本运算的考查，难度不大。对传统内容的考查在保持平稳的基础上进行了适度创新。如第 7 题首次考查几何概型概率问题。

2.关注通性通法。试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依 托，以能力考查为目的的命题要求。 如第 17 题解析几何考查两直线交点以及点在曲线上。第 20 题以

极值为载体考查根与系数关系、三次方程因式分解。第 19 题以新定义形式多层次考查等差数列定义。

3.体现数学应用，关注社会生活。第 10 题以实际生活中运费、存储费用为背景的基本不等式求最 值问题，第 18 题以常见的正四棱柱和正四棱台为背景的解三角形问题，体现试卷设计问题背景的公平性，对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向。

4.附加题部分，前四道选做题对知识点的考查单一，方法清晰，学生入手较易。两道必做题一改常规， 既考查空间向量在立体几何中应用，又考查概率分布与期望值，既考查运算能力，又考查思维能力。

【试卷解析】

参考公式：

柱体的体积V  Sh ，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高.

4πR3

球体积公式V  ，其中 R 是球的半径.

3

一、填空题:本大题共 14 小题，每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 已知集合 A  {1, 2}， B  {a, a2  3}，若 A  B  {1} 则实数 a 的值为 ▲

.

【答案】1

【考点】元素的互异性

【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形) 和化简集合是正确求解的两个先决条件.

(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因 为不满足“互异性”而导致解题错误.

(3)防范空集.在解决有关 A  B  , A  B 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否 成立，以防漏解.

2. 已知复数 z  (1  i)(1  2i), 其中 i 是虚数单位，则 z 的模是 ▲ .

【答案】 10

【考点】复数的模

【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如

(a  bi)(c  di)  (ac  bd )  (ad  bc)i, (a, b, c.d  R) . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数

a  bi(a, b  R) 的实部为a 、虚部为 b 、模为 a2  b2 、对应点为(a, b) 、共轭为a  bi.

3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为 200,400,300,100 件.为检验产品的质量,

现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件. 【答案】18

【解析】所求人数为60  【考点】分层抽样

300

10000

18． 18，故答案为

1

4. 右图是一个算法流程图，若输入 x 的值为 ,则输出的 y 的值是

16

【答案】 2

▲ .

1

【解析】由题意 y  2  log2

16

 2，故答案为－2．

【考点】循环结构流程图

【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查. 先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码， 其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.

π 1 5. 若 tan( )  , 则 tan 4 6 【答案】

▲ .

7

5

【考点】两角和正切公式

【名师点睛】三角函数求值的三种类型

(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. (3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.

6. 如图,在圆柱O1, O2 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆

今各地全部高 购买 1951 年至

V

柱O , O 的体积为V ,球O 的体积为V ,则 1 的值是

2 1 2 1

V2

▲ .

【答案】 3 2

V 1

【解析】设球半径为 r ，则 

r 2  2r

V2

43

r3

3 3  ．故答案为 ． 2 2

【考点】圆柱体积

【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

D .在区间[4, 5]上随机取一个数 x ,则 x  D 的概率是 7. 记函数 f (x)  6  x  x2 的定义域为

▲ . 【答案】 5

9

【考点】几何概型概率

【名师点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设 出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限 的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．

x2 2

8. 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线  y  1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P , Q ,其焦点是

3

F1 , F2 ,则四边形 F1PF2Q 的面积是 ▲ .

【答案】 2 3

【考点】双曲线渐近线

【名师点睛】1.已知双曲线方程  y 1求渐近线： x y    b x 0 y 2 2 2

x2

2 2

2

aba2

b a

2.已知渐近线 y  mx 设双曲线标准方程 mx y 2 2

2

3，双曲线焦点到渐近线距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点.

7 63

9. 等比数列{an }的各项均为实数,其前 n 项的和为 Sn ,已知 S3  ,S6  ,则 a8 = ▲ .

4 4

【答案】32

【解析】当 q  1时，显然不符合题意；

 a  q3 )  7 1 (1 1  1 4 1 7 a，解得 4 ，则 a   2 32 . 当 q  1时， 1  q

  8

4 1 (1 a  q6 ) 63  q  2

4  1  q

【考点】等比数列通项

【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化 为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.

10. 某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,

要使一年的总运费与总存储之和最小,则 x 的值是 ▲ . 【答案】30

600 900900

【解析】总费用 4x   6  4(x  )  4  2 900  240 ，当且仅当 x  ，即 x  30 时等号成立.

x x x

【考点】基本不等式求最值

【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中 “正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件) 的条件才能应用，否则会出现错误.

1

11. 已知函数 f (x)  x3  2x  ex  , 其中 e 是自然对数的底数. 若 f (a 1)  f (2a2 ) ≤ 0 ,则实数 a 的取

ex

值范围是 ▲ . 【答案】[1, ]

1 2

【考点】利用函数性质解不等式 

【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为 f (g(x)) f (h(x)) 的形式，然后根 据函数的单调性去掉“ f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 g (x) 与h(x) 的取值应在外层函数的定义域内



12. 如图,在同一个平面内，向量OA , OB , OC 的模分别为 1,1, 2 , OA 与OC 的夹角为,且 tan=7, OB

购买 1951 年至

今各地全部高

   与OC 的夹角为 45°.若OC  mOA  nOB (m, n  R) , 则 m  n ▲ .

【答案】3 【解析】由 tan 7 可得sin

n cos 45  m cos

易得 

7 2 ， cos 2 ，根据向量的分解，

10 10

 2 2 n  m 

2 2  2 5n  m  10 10

5 7

n sin 45  m sin 0

，即 

，即，即得 m  , n  ， 2 7 2 5n  7m  0 4 4 n  m  0

2 10

所以 m  n  3.

【考点】向量表示

【名师点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结 合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.

(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题. 通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法. (3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

13. 在平面直角坐标系 xOy 中, A(12, 0), B(0, 6), 点 P 在圆O：x2  y2  50 上,若 PA  PB ≤ 20, 则点 P 的 横坐标的取值范围是 ▲

.

 

【答案】[5 2,1]

【考点】直线与圆，线性规划

【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线， 其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

x , x  D,

14. 设 f (x) 是定义在 R 且周期为 1 的函数，在区间[0,1) 上, f (x)   其中集合

x  D, x, n 1 

D  x x  , n  N*，则方程 f (x)  lg x  0 的解的个数是 ▲ .

 

n

 

【答案】8

【解析】由于 f (x) [0,1) ，则需考虑1  x  10 的情况

2

在此范围内， x  Q 且 x  Z 时，设 x  , p, q  N, p  2 ，且 p, q 互质

q

*

p

*

, m, n  N, m  2 ，且 m, n 互质 若lg x  Q ，则由lg x  (0,1) ，可设lg x m

n

n

因此10m 

q p

，则10 ( )，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x  Q

n

q m p

【考点】函数与方程

【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单 调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称 性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说．．．．．．．．

明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分 14 分） 如图,在三棱锥 A-BCD 中,AB⊥AD, BC⊥BD, 平面 ABD⊥平面 BCD, 点 E,F(E 与 A,D 不重合)分别在棱 AD,BD 上,且 EF⊥AD.

求证：（1）EF∥平面 ABC；

（2）AD⊥AC.

【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】证明：（1）在平面 ABD 内，因为 AB⊥AD，EF  AD ，所以 EF∥AB .

【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理，面面垂直性质定理 【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

16.（本小题满分 14 分） 已知向量 a  (cos x, sin x), b  (3, 3), x [0, π]. （1）若 a∥b,求 x 的值；

（2）记 f (x)  a  b ,求 f (x) 的最大值和最小值以及对应的 x 的值.

5π 5π （2） x  0 时取得最大值，为 3； x  时 6 6

【解析】解：（1）因为a  (cos x, sin x) ， b  (3, 3) ，a∥b，

【答案】（1） x 

取得最小值，为 2

3 .

π

3 sin x  2 3 cos(x  ). （2） f (x)  a  b  (cos x, sin x)  (3, 3)  3cos x 

6

π π 7π

因为 ，所以 x  [ , ] ，

6 6 6 π 3

从而 1  cos(x  )  .

6 2 π π

于是，当 x   ，即 3； x  0 时， 取到最大值

6 6

x    ，即 x  当

6

π 5π 6

时，

取到最小值 2

3

.

【考点】向量共线，数量积

【名师点睛】(1)向量平行： a / /b  x1 y2  x2 y1 ，







  a / /b, b  0   R, a  b , BA  AC  OA 

 

 2

1 OB OC 1  1 

 

(2)向量垂直： a  b  a  b  0  x1x2  y1 y2  0 ，

1 2 1 2

(3)向量加减乘： a  b  (x  x , y  y ), a | a |, a  b | a |  | b | cos  a, b 

    2

x2 y2

17.（本小题满分 14 分） 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E : 2  2  1(a  b  0) 的左、右焦点分

ab

1

别为 F , F ,离心率为 ,两准线之间的距离为 8.点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点 F 作 直线 PF

1 2 1 1

2

的垂线l1 ,过点 F2 作直线 PF2 的垂线l2 .

（1）求椭圆 E 的标准方程；

（2）若直线 E 的交点Q 在椭圆 E 上,求点 P 的坐标.

y

F1

O

F2

x

(第 17 题)

【答案】（1） x y 1（2） ( 4 7 , 3 7 )

2

2

4 3 7 7

【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为 c.

从而直线l 的方程： y  

1

x0 1

(x 1) ， ①

直线l 的方程： y  

2

x0 1

y0

(x 1) . ②

y0 2

10  x 1 x2  0

x  x , y ，所以Q(x ,) . 由①②，解得

0 0

y0 y 0

2

1 x

x2  y2  1或 x2  y2  1. 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得 0   y ，即 0 0 0 0 0

y 0

4 7 3 7

, )7 7 因此点 P 的坐标为 .

(

【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系

【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦 达定理或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上则点的坐标满足曲线方 程.

18.（本小题满分 16 分） 如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为

32cm,容器Ⅰ的底面对角线 AC 的长为 10 7 cm,容器Ⅱ的两底面对角线 EG , E1G1 的长分别为 14cm 和 62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为 12cm. 现有一根玻璃棒 l,其长度为 40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1）将l 放在容器Ⅰ中, l 的一端置于点 A 处,另一端置于侧棱CC1 上,求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中, l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱GG1 上，求l 没入水中部分的长度.

(第 18 题)

【答案】（1）16（2）20

【解析】解:（1）由正棱柱的定义，CC1⊥平面 ABCD ，所以平面 A1 ACC1⊥平面 ABCD ，CC1⊥AC .

记玻璃棒的另一端落在CC1 上点 M 处.

( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为 24cm)

（2）如图，O，O1 是正棱台的两底面中心.

由正棱台的定义，OO1⊥平面 EFGH， 所以平面 E1EGG1⊥平面 EFGH，O1O⊥EG. 同理，平面 E1EGG1⊥平面 E1F1G1H1，O1O⊥E1G1. 记玻璃棒的另一端落在 GG1 上点 N 处.

过 G 作 GK⊥E1G，K 为垂足， 则 GK =OO1=32. 因为 EG = 14，E1G1= 62， 所以 KG1=

62 14

 24 ，从而GG . 2 2 2 2 40 KG GK 24 32 1 1 2

 4

设∠EGG  ,∠ENG  , 则sin sin( ∠KGG )  cos∠KGG  .

1 1 1 2 5  3 因为   ，所以cos  .

2 5

40 14 ，解得sin  7 . 在△ENG 中，由正弦定理可得 

sinsin 25

 24

因为0   ，所以cos  .

2 25

于是

4 24 37 3

sin∠NEG  sin(  )  sin( )  sincos  cossin    ( )   .

5 25 5 25 5

P2Q2

 20.

sin∠NEG

记 EN 与水面的交点为 P2，过 P2 作 P2Q2⊥EG，Q2 为垂足，则 P2Q2⊥平面 EFGH，故 P2Q2=12， 从而 EP2=

答:玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 20cm.

(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为 20cm) 【考点】正余弦定理

【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转 化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.

19.（本小题满分 16 分） 对于给定的正整数 k ,若数列{an }满足 ank  ank 1    an1  an1    ank 1  ank

 2kan 对任意正整数 n(n  k ) 总成立，则称数列{an }是“ P(k ) 数列”. （1）证明：等差数列{an }是“ P(3) 数列”; （2）若数列{an }既是“ P(2) 数列”，又是“ P(3) 数列”，证明： {an }是等差数列. 【答案】（1）见解析（2）见解析

当 n  3时， an2  an1  an1  an2  4an ，①

当 n  4 时， an3  an2  an1  an1  an2  an3  6an .② 由①知， an3  an2  4an1  (an  an 1) ，③

an2  an3  4an1  (an1  an ) ，④

所以数列n 是等差数列.

【考点】等差数列定义及通项公式

【名师点睛】证明{an }为等差数列的方法： (1)用定义证明： an1  an  d (d 为常数）； (2)用等差中项证明： 2an1  an  an2 ； (3)通项法： an 为n 的一次函数；

2 (4)前 n 项和法： nS  An Bn

{a}

20.（本小题满分 16 分） 已知函数 f (x)  x3  ax2  bx 1(a  0, b  R) 有极值,且导函数 f (x) 的极值点是 f (x) 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明： b2  3a ;

7

（3）若 f (x) , f (x) 这两个函数的所有极值之和不小于  ，求 a 的取值范围.

2

【答案】（1） a  3（2）见解析（3） 3  a  6 2a 2 a 2



【解析】解：（1）由 f (x)  x  ax  bx 1，得 f (x)  3x  2ax  b  3(x )  b  .

3 3

3 2



当 x   时， f (x)有极小值b  .

3 3

因为 f (x)的极值点是 f (x) 的零点.

a a3 a3 ab 2a2 3

所以 f ( )     1  0 ，又 a  0 ，故b   .

3 27 9 3 9 a 2 a1 3

a a2

因为 f (x) 有极值，故 f (x)=0 有实根，从而b 

(27  a )  0 ，即 a  3. 3 9a

a  3时， f (x)>0(x  1)，故 f (x) 在 R 上是增函数， f (x) 没有极值；

a  a2  3b a  a2  3b a  3时， f (x)=0 有两个相异的实根 x1 = ， x2 = .

3 3



(  , x1) x1 0 极大值 列表如下 x (x1, x2 ) – x2 0 极小值 (x2 , ) + f (x) + f (x) 故 f (x) 的极值点是 x1 , x2 . 从而 a  3，



因为 a  3，所以 a a  3 3 ，故 g(a a )>g(3 3)= 因此b>3a .

2

3 ，即

b a

> 3 .

2 4a2  6b 2 2

（3）由（1）知， f (x) 的极值点是 x1 , x2 ，且 x1  x2   a ， x1  x2  .

3 9 3 2 3 2

从 而 f (x )  f (x )  x ax bx 1 x ax bx 1

1 2 1 1 1 2 2 2 x1 2 x2 2 1 2 2 2

 (3x 2ax  b)  (3x 2ax  b)  a(x x)  b(x  x )  2

1 2

3 1 3 2 3 1 2 3 1 2 4a3  6ab 4ab    2 0

27 9

因此 a 的取值范围为(3，6].

【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点

数学 II

21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多．．．．．．．．．．．．．．．．．．做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A. [选修 4—1：几何证明选讲](本小题满分 10 分)

如图，AB 为半圆 O 的直径,直线 PC 切半圆 O 于点 C，AP⊥PC，P 为垂足. 求证：（1） PAC  CAB;

（2） AC 2  AP  AB .

(第 21-A 题)

【答案】见解析

【解析】证明：（1）因为 O 于点 C，PC 切半圆

所以∠PCA  ∠CBA ，

AB 所以 AC  AP·

【考点】圆性质，相似三角形

2

【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路

(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可 转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比 来代换，解题时应灵活把

握． 2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、 与圆有关的相似三角形等．

B. [选修 4—2：矩阵与变换](本小题满分 10 分)

0 1 1 0

已知矩阵 A  , B  . A= ，B= . 1 0 

   

（1）求 AB ; 

x2 y2

（2）若曲线C1 :   1 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线C2 ,求C2 的方程.

8 2

【答案】 （2） x y 8

2 2

0 1 1 0【解析】解：（1）因为 A=  ， B= 0 2 ，

1 0   

0 1 1 0 0 2

所以 AB=  0 2 = 1 0 .

1 0     

（2）设Q(x0 , y0 ) 为曲线C1 上的任意一点， 它在矩阵 AB 对应的变换作用下变为 P(x, y) ,

x0  y 2 y  x 0 2  x   x 



x  y ，所以  y x .



 0  0 2

2 2

y x 0 0

因为Q(x0 , y0 ) 在曲线C1 上，所以  1，

8 8

x2  y2  1，即 从而 x 2  y2  8 . 8 8

2 2

CCx y 8 . 1 2因此曲线在矩阵 AB 对应的变换作用下得到曲线

   则 1 0 y y    0   

0

，即 

0

【考点】矩阵乘法、线性变换

a b  m p am  bn ap  bq

【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘： c d   n q   cm  dn cp  dq

     a b   x   xa b 

（2）矩阵变换注意变化前后对应点： c d   y   y  表示点(x, y) 在矩阵 c d  变换下变成点

       

(x, y)







C. x  8  t



在平面坐标系中 xOy 中,已知直线l 的参考方程为 y t ( t 为参数),曲线C 的参数方程为



2

x  2s2 ,

( s 为参数).设 P 为曲线C 上的动点，求点 P 到直线l 的距离的最小值.  y  2 2s

【答案】 4 5

5

【解析】解：直线l 的普通方程为 x  2 y  8  0.

因此当点 P 的坐标为(4, 4) 时，曲线C 上点 P 到直线l 的距离取到最小值

4 5

. 5

【考点】参数方程化普通方程

【名师点睛】1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中 x 及 y 的取值范围的影响．

D.［选修 4-5：不等式选讲］（本小题满分 10 分）

已知 a, b, c, d 为实数，且 a2  b2  4, c2  d 2  16, 证明 ac  bd ≤ 8. 【答案】见解析

【考点】柯西不等式

2222

【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn 为实数，则1 (a＋2 a＋…＋n a1)( b 222

＋b＋…＋b)≥(a b ＋a b ＋…＋a b )，当且仅当 b ＝0 或存在一个数 k，使 a ＝kb (i＝1,2，…，n)时，

2 n

1 1 2 2 n n i i i

等号成立.

【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，计 20 分.请把答案写在答题卡的指定区域内作答,解答时应写．．．．．．．．．．．出文字说明、证明过程或演算步骤． 22（. 本小题满分 10 分）如图, 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1⊥平面 ABCD,且 AB=AD=2,AA1= BAD  120 .

（1）求异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值；

3 ,

(第 22 题)

1

【答案】（1） （2） 7

7

4

【解析】解：在平面 ABCD 内，过点 A 作 AE  AD，交 BC 于点 E.

因此异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值为 .

1

7

(2)平面 A1DA 的一个法向量为 AE  ( 3, 0, 0) . 设 m  (x, y, z)为平面 BA1D 的一个法向量， 又 A1B  ( 3, 1, 3), BD  ( 3, 3, 0) ，

 m  



A1B  0, 3x  y  3z  0,

即

m  BD  0, 3x  3y  0. 不妨取 x=3，则 y  3, z  2 ，

则

因此二面角 B-A1D-A 的正弦值为 7 4

.

【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角

【名师点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间 直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的 法向量；第四，破“应用公式关”.

23（. 本小题满分 10 分） 已知一个口袋有 m 个白球, n 个黑球( m, n  N*,n ≥ 2 ),这些球除颜色外全部相同.

m  n 1 2 3 

n 明: E( X ) 

(m  n)(n 1)

【答案】（1）

n

m  n

（2）见解析

Cn1 n n1 .p  mn C m  n mn

(2) 随机变量 X 的概率分布为: X 1 1 P n Cn1 n1 Cnmn n 1 Cn1 n Cnmn 1 n  2 Cn1 n1 Cnmn … … 1 k Cn1 k 1 Cnmn … … 1 m  n n1 C nm1 Cnmn

. E( X ) 

(m  n)(n 1)

【考点】古典概型概率、随机变量及其分布、数学期望

【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、 互斥事件的概率和公式、事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；

第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件 的概率是否正确；

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中 的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 X  B(n, p) )，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式( E( X )  np )求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可 加快解题速度.

n