等比数列练习--含答案

课时作业9 等比数列

时间：45分钟 满分：100分

课堂训练

1．已知a、b、c成等比数列，且a＝2，c＝6，则b为( )

A．23 B．－23

C．±23 D．18

【答案】 C

【解析】 由b2＝ac＝2×6＝12，得b＝±23.

2．公差不为零的等差数列{an}，a2，a3，a7成等比数列，则它的公比为( A．－4

B．－14

C.14

D．4

【答案】 D

)

【解析】 设等差数列{an}的公差为d，由题意知d≠0，

2且a23＝a2a7，即(a1＋2d)＝(a1＋d)(a1＋6d)，

2

化简，得a1＝－d.

3

21

∴a2＝a1＋d＝－d＋d＝d，

33

14

a3＝a2＋d＝d＋d＝d，

33

∴＝4，故选D.

a3a2

3．已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________.

【答案】 2

【解析】 设{an}的公比为q，则a4＝a2q2，a3＝a2q.

a4－a3＝a2q2－a2q＝4，又a2＝2，

得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1.

又{an}为递增数列，则q＝2.

4．在等比数列{an}中，

(1)若a4＝27，q＝－3，求a7；

(2)若a2＝18，a4＝8，求a1和q.

【分析】 (1)(2)问直接利用等比数列通项公式的变形来求解．

【解析】 (1)a7＝a4·q7－4＝a4·q3＝27×(－3)3＝－729.

(2)由已知得

a4a2

＝q2，即q2＝

4＝， 1

8

222a218

∴q＝或q＝－.当q＝时，a1＝＝＝27.

333q2

3

2a218当q＝－时，a1＝＝＝－27.

3q2

－3

a＝27，

2综上q＝3

1

a＝－27，

2或q＝－.3

1

42

【规律方法】 该题易出错的地方在于由q2＝求q时误认为q>0而漏掉q＝－的情

93况，导致错解．

课后作业

一、选择题(每小题5分，共40分)

912

1．若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为( )

833

A．3 B．4

C．5 D．6

【答案】 B

912192

【解析】 由a1＝，an＝，q＝，即＝·()n－1，

833383

∴n＝4.

1

2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝( )

4

1A．－

2

B．－2

C．2

1D. 2

【答案】 D

1

411

【解析】 由已知得＝q3，故＝q3，即q3＝，解得q＝.故选D.

a2282

a5

1

3．等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是( )

8

A．±4 B．4

1C．±

41D. 4

【答案】 A

1

【解析】 由an＝·2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，

8

其等比中项为±4.

4．已知等比数列{an}中，a2 008＝a2 010＝－1，则a2 009＝( )

A．－1 B．1

C．1或－1 D．以上都不对

【答案】 C

【解析】 ∵a2 008，a2 009，a2 010成等比数列，∴a22 009＝a2 008·a2 010＝1，∴a2 009＝1或－1.

5

5．已知在等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，则等比数列{an}的公比q＝( )

4

1A. 41B. 2

C．2 D．8

【答案】 B

51

【解析】 a4＋a6＝a1q3＋a3q3＝(a1＋a3)，q3＝10·q3＝，∴q＝.故选B.

42

6．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2KB，然后3min自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________min，该病毒占据MB(1MB＝210KB)．( )

A．45 B．48

C．51 D．42

【答案】 A

【解析】 设病毒占据MB时自身复制了n次，由题意可得2×2n＝×210＝216，解得n＝15.从而复制的时间为15×3＝45(min)．

7．(2013·江西理)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )

A．－24 B．0

C．12 D．24

【答案】 A

【解析】 本题考查等比数列的定义．

由等比中项公式(3x＋3)2＝x(6x＋6)

即x2＋4x＋3＝0.

∴x＝－1(舍去)或x＝－3.

∴数列为－3，－6，－12，－24.故选A.

1a9＋a10

8．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于( )

2A．1＋2 B．1－2

C．3＋22 D．3－22

【答案】 C

【解析】 设等比数列{an}的公比为q，

∵a1

1，2

a3,2a2成等差数列，

∴a3＝a1＋2a2.

∴a1q2＝a1＋2a1q.

∴q2－2q－1＝0.

∴q＝1±2.

a7＋a8

∵各项都是正数，∴q>0.∴q＝1＋2.

∴

a9＋a10a7＋a8

＝q2＝(1＋2)2＝3＋22.

二、填空题(每小题10分，共20分)

9．(2013·广东文)设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.

【答案】 15

【解析】 a1＝1，q＝－2，则|a2|＝2，a3＝4，|a4|＝8，

∴a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝15.

10．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则__________．

a1＋a3＋a9

a2＋a4＋a10

的值为13【答案】

16

2【解析】 a23＝a1a9，(a1＋2d)＝a1(a1＋8d)，

3a1＋10d13

∴a1＝d，＝＝. a2＋a4＋a103a1＋13d16

a1＋a3＋a9

三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

11．在等差数列{an}中，a1＝3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1＝1，公比为q，且b2＋S2＝12，q＝

S2

b2

.求数列{an}与{bn}的通项公式．

【分析】 设出等差数列的公差，根据已知条件列出关于公差d与公比q的方程组求解出公差d与公比q，然后代入通项公式即可求得通项公式．

【解析】 设{an}的公差为d.

b＋S＝12，

S因为

q＝，b2

222

q＋6＋d＝12，

6＋d所以q＝，q

解得q＝3或q＝－4(舍)，d＝3，

故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3n－1.

1

12.已知等比数列{an}的通项公式为an＝3()n－1，若数列{bn}的通项为bn＝a3n＋a3n－1

2

＋a3n－2(n∈N＋)，求证数列{bn}为等比数列．

【分析】 要证明数列{bn}为等比数列，只需证

bn＋1bn＝常数即可．

【解析】

bn＋1a3n＋3＋a3n＋2＋a3n＋1bn＝

a3n＋a3n－1＋a3n－2

3＝3

1212

3n＋2＋3

1212

3n＋1＋3

1212

3n

3n－3

3n－1＋33n－2＋3

3＝3

1212

3n[

1212

2＋

1＋1]2

3n－3[

12＋＋1]2

11

＝()3＝(常数)． 28

所以数列{bn}是等比数列．

【规律方法】 等比数列是特殊的函数，用指数函数的方法来研究等比数列，一定要抓住指数函数的性质和运算方法，这是解题的关键．