指数函数的图像练习题含答案

指数函数的图像练习题含答案

学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________

1. 已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)（其中𝑎>𝑏）的图象如图所示，则函数𝑔(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏的图象是( )

A. B.

C.

D.

2. 函数𝑦=𝑎𝑥+1(𝑎>0且𝑎≠1)的图象必经过点( ) A.(0, 1)

3. 函数𝑦=𝑎𝑥−4+5（𝑎>0，𝑎≠1）的图象必经过定点（ ） A.(0,5) 4.

已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)（其中𝑎>𝑏）的图象如图所示，则函数𝑔(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏

试卷第1页，总20页

B.(1, 0) C.(2, 1) D.(0, 2)

B.(4,5) C.(3,4) D.(4,6)

的图象( )

A.

B. C. D.

5. 已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)(其中𝑎>𝑏)的大致图象如图所示，则函数𝑔(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏的图象可能是（ ）

A. B.

C.

D.

6. 函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+2的图象恒过定点𝑃，则𝑃的坐标是( ) A.(0,1)

7. 函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−1−1(𝑎>0且𝑎≠1)恒过定点( ) A.(1, −1)

试卷第2页，总20页

B.(1,0) C.(1,2) D.(0,3)

B.(1, 0) C.(0, −1) D.(0, 0)

8. 已知𝑓(𝑥)=(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)（其中𝑏<𝑎），若𝑓(𝑥)的图象如图所示，则函数𝑔(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏的图象是( )

A. B.

C.

D.

9. 已知lg𝑎+lg𝑏=0(𝑎>0，𝑏>0且𝑎≠1，𝑏≠1)，则函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥与函数𝑔(𝑥)=−log𝑏𝑥的图像在同一坐标系内可能是( )

A. B.

C.

D.

10. 已知函数𝑓(𝑥)=2𝑥−2，则函数𝑦=|𝑓(𝑥)|的图象可能是（ ）

试卷第3页，总20页

A. B.

C.

D.

11. 函数𝑦=𝑎𝑥−2+1(𝑎>0且𝑎≠1)的图象必经过点( ) A.(0, 1)

12. 在𝑦=2𝑥，𝑦=log2𝑥，𝑦=𝑥2，这三个函数中，当0<𝑥1<𝑥2<1时，使𝑓(

𝑥1+𝑥22

B.(1, 1) C.(2, 0) D.(2, 2)

)>

𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)

2

恒成立的函数的个数是( )

C.2个

D.3个

A.0个

B.1个

13. 函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−2+3过定点𝐴，则𝐴点的坐标为________.

14. 已知函数𝑓(𝑥)=(2)−𝑥+𝑎的图象经过一、三、四象限，则𝑎的取值范围为________.

15. 函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−1+2(𝑎>0,𝑎≠1)的图象恒过点________.

16. 若函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑚−𝑛(𝑎>0)且𝑎≠1)恒过定点(3, 1)，则𝑚+𝑛=________．

17. 函数𝑦=𝑎𝑥−2−1(𝑎>0,𝑎≠1)的图象必经过点________.

18. 已知函数𝑦=3𝑎𝑥−8−1(𝑎>0，且𝑎≠1）的图像恒过定点𝐴(𝑚,𝑛)，则log𝑚𝑛=________.

19. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−1+3(𝑎>0，且𝑎≠1)的图象一定过定点________ ．

20. 画出函数𝑦=2|𝑥−1|的图象．

试卷第4页，总20页

1

21. 利用指数函数𝑓(𝑥)=3𝑥的图象，作出下列函数的图象： （1）𝑦=𝑓(𝑥−1)；

（2）𝑦=𝑓(𝑥)−1．

22. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑎2𝑥−𝑎𝑥+2𝑎(𝑎>0 且𝑎≠1) 的图象经过点 𝐴(1,6). (1)求𝑓(𝑥)的解析式；

(2)求𝑓(𝑥)的最小值.

23. 已知𝑓(𝑥+2)=3𝑥

2+4𝑥+4

（1）求函数𝑓(𝑥)的解析式

（2）判断函数𝑓(𝑥)的奇偶性

（3）解不等式𝑓(𝑥−2)>𝑓(𝑥+3)

24. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−1(𝑥≥0)的图象经过点(2, 2)，其中𝑎>0且𝑎≠1． （1）求𝑎的值；

（2）求函数𝑦=𝑓(𝑥)+1(𝑥≥0)的值域．

25. 已知函数𝑓(𝑥)=1+2𝑥(𝑎∈𝑅)，且𝑥∈𝑅时，总有𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)成立． （1）求𝑎的值；

（2）判断并证明函数𝑓(𝑥)的单调性；

（3）求𝑓(𝑥)在[0, 2]上的值域．

26. 设𝑎>1，函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+1−2． （1）求𝑓(𝑥)的反函数𝑓−1(𝑥)；

试卷第5页，总20页

𝑎−2𝑥

1

（2）若𝑓−1(𝑥)在[0, 1]上的最大值与最小值互为相反数，求𝑎的值；

（3）若𝑓−1(𝑥)的图象不经过第二象限，求𝑎的取值范围．

27. 已知函数𝑓(𝑥)=()|𝑥−1|．

31

（1）作出函数图象；

（2）指出其单调区间；

（3）写出函数值域，并指出当𝑥取何值时，𝑓(𝑥)有最值；

（4）若关于𝑥的方程𝑓(𝑥)=𝑚有负数根，求𝑚的取值范围．

试卷第6页，总20页

参考答案与试题解析 指数函数的图像练习题含答案

一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ） 1.

【答案】 A

【考点】

指数函数的图象 【解析】

由𝑓(𝑥)的图象确定𝑎，𝑏的取值范围，结合指数函数的图象进行判断即可． 【解答】

解：由𝑓(𝑥)的图象可知0<𝑎<1，𝑏<−1， 则函数𝑔(𝑥)为减函数，且𝑔(0)=1+𝑏<0. 故选𝐴. 2.

【答案】 D

【考点】

指数函数的图象 【解析】

已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+1，根据指数函数的性质，求出其过的定点． 【解答】

解：∵ 函数𝑦=𝑎𝑥+1，其中𝑎>0，𝑎≠1， 令𝑥=0，可得𝑦=1+1=2，

∴ 函数𝑦=𝑎𝑥+1(𝑎>0且𝑎≠1)的图象必经过点(0, 2). 故选𝐷. 3. 【答案】 D

【考点】

指数函数的图象 【解析】 此题暂无解析 【解答】

解：当𝑥=4时，𝑦=6 ，故函数图象过(4,6)． 故选𝐷． 4. 【答案】 A

【考点】

指数函数的图象 【解析】

由𝑓(𝑥)的图象确定𝑎，𝑏的取值范围，结合指数函数的图象进行判断即可． 【解答】

试卷第7页，总20页

解：由𝑓(𝑥)的图象可知0<𝑎<1，𝑏<−1， 则函数𝑔(𝑥)为减函数，且𝑔(0)=1+𝑏<0. 故选𝐴. 5.

【答案】 B

【考点】

指数函数的图象 【解析】 此题暂无解析 【解答】

解：由函数𝑓(𝑥)=(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)（其中𝑎>𝑏）的图象可知0<𝑎<1，𝑏<−1， 所以函数𝑔(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏是减函数，排除选项𝐶，𝐷；

又因为函数图象过点(0,1+𝑏)，又1+𝑏<0，所以此点在𝑦轴的负半轴上． 故选𝐵． 6.

【答案】 D

【考点】

指数函数的单调性与特殊点 指数函数的图象

【解析】

由函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥(𝑎>0)，且𝑎≠1）恒过(0,1)，根据指数函数的性质，把𝑥=0代入即可求解. 【解答】

解：∵ 指数函数𝑦=𝑎𝑥恒过点(0,1)， ∴ 当𝑥=0时，可得𝑦=𝑎0+2=3， ∴ 函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+2恒过点(0,3). 故选𝐷. 7.

【答案】 B

【考点】

指数函数的图象 【解析】

函数图象过定点(𝑎, 𝑏)，即无论参数取何值，当𝑥=𝑎时，𝑦总等于𝑏，由此可利用代入验证的方法找到正确答案 【解答】

解：∵ 当𝑥=1时，无论𝑎取何值，𝑓(𝑥)=𝑎0−1=0，

∴ 函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−1−1(𝑎>0且𝑎≠1)的图象必经过定点(1, 0). 故选𝐵. 8. 【答案】 A

【考点】

试卷第8页，总20页

指数函数的图象 【解析】

由已知中函数𝑓(𝑥)=(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)（其中𝑎>𝑏）的图象，我们易判断出𝑎，𝑏与0，±1的关系，根据指数函数的图象的性质及指数函数图象的平移变换，我们分析四个答案中函数的图象，即可得到结论． 【解答】

解：由已知中函数𝑓(𝑥)=(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)(其中𝑎>𝑏)的图象可得, 𝑏<−1<0<𝑎<1,

则函数𝑔(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏为减函数，排除选项𝐶，𝐷，

由于𝑏<0，则函数与𝑦轴的交点在𝑥轴下方,排除选项𝐵, 分析四个答案只有𝐴符合. 故选𝐴. 9.

【答案】 B

【考点】

对数函数的图象与性质 指数函数的图象

【解析】

由lg𝑎+lg𝑏=0(𝑎>0，𝑏>0且𝑎≠1，𝑏≠1)，得𝑎𝑏=1，从而得到𝑔(𝑥)=log𝑎𝑥，与𝑓(𝑥)=𝑎𝑥互为反函数，从而得到答案． 【解答】

解：∵ lg𝑎+lg𝑏=0(𝑎>0且𝑎≠1，𝑏>0且𝑏≠1)， ∴ 𝑎𝑏=1， ∴ 𝑏=𝑎，

∴ 𝑔(𝑥)=−log𝑏𝑥=−log1𝑥=log𝑎𝑥，

𝑎

1

函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥与函数𝑔(𝑥)=−log𝑏𝑥互为反函数， ∴ 二者的图象关于直线𝑦=𝑥对称. 故选𝐵． 10.

【答案】 B

【考点】

指数函数的图象 【解析】

𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)≥0

因为𝑦=|𝑓(𝑥)|={，故只需作出𝑦=𝑓(𝑥)的图象，将𝑥轴下方的部分做

−𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)<0关于𝑥轴的对称图象即可． 【解答】

解：先做出𝑦=2𝑥的图象，在向下平移两个单位，得到𝑔=𝑓(𝑥)的图象，

试卷第9页，总20页

再将𝑥轴下方的部分做关于𝑥轴的对称图象即得𝑦=|𝑓(𝑥)|的图象． 故选𝐵. 11. 【答案】 D

【考点】

指数函数的图象 【解析】 此题暂无解析 【解答】

解：∵ 𝑎0=1，

∴ 令𝑥−2=0，则𝑥=2， 故𝑦=1+1=0，

故函数𝑦=𝑎𝑥−2−1的图象必过定点(2, 2)． 故选𝐷． 12. 【答案】 B

【考点】

对数函数的图象与性质 二次函数的图象 指数函数的图象

【解析】

对三个函数依次验证是否成立． 【解答】

解：本题主要考查函数的图象. 不等式恒成立表示的几何意义为：点(连线中点(

𝑥1+𝑥2𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)2

𝑥1+𝑥22

,𝑓(

𝑥1+𝑥22

))位于点(𝑥1,𝑓(𝑥1))与点(𝑥2,𝑓(𝑥2))

,

2

)的上方.根据指数函数、对数函数以及二次函数图象特点可

知，满足这个条件的函数有函数𝑦=log2𝑥.

试卷第10页，总20页

故选𝐵.

二、 填空题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）

13.

【答案】 (2,4) 【考点】

指数函数的图象 【解析】

由题设知𝑓(2)=3+𝑎0=4．即函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−2+3(𝑎>0且𝑎≠1)的图象恒过定点𝑃(2, 4)． 【解答】

解：令𝑥−2=0，解得𝑥=2， 此时𝑓(2)=1+3=4， ∴ 𝐴点的坐标为(2,4). 故答案为：(2,4). 14.

【答案】 (−∞,−1)

【考点】

指数函数的图象 【解析】

（1）直接由函数的图象平移结合图象求得𝑎的取值范围； 【解答】

解：∵ 函数𝑓(𝑥)=(2)−𝑥+𝑎的图象经过第一、三、四象限， ∴ 当𝑥=0时𝑓(𝑥)=1+𝑎<0； 解得𝑎<−1.

故答案为：(−∞,−1). 15.

【答案】 (1,3) 【考点】

指数函数的图象 【解析】

本题主要考查指数函数的图象特征、图象变换. 【解答】

解：因为指数函数𝑦=𝑎𝑥(𝑎>0,𝑎≠1)的图象恒过定点(0,1)，

将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−1+2(𝑎>0,𝑎≠1)的图象，

所以𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−1+2(𝑎>0,𝑎≠1)的图象恒过点(1,3). 故答案为：(1,3). 16. 【答案】 −3

【考点】

试卷第11页，总20页

1

指数函数的图象 指数函数的性质

【解析】

由𝑎0=1可得，令𝑥+𝑚=0，则𝑥=−𝑚=3，此时𝑦=1−𝑛=1，从而解得． 【解答】

解：函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑚−𝑛(𝑎>0)且𝑎≠1)恒过定点(3, 1)， 令𝑥+𝑚=0，则𝑥=−𝑚=3，此时𝑦=1−𝑛=1， 解得𝑚=−3，𝑛=0， 则𝑚+𝑛=−3， 故答案为：−3． 17.

【答案】 (2,0) 【考点】

指数函数的图象 【解析】

令指数为0时，可得定点． 【解答】

解：∵ 当𝑥=2时，𝑦=𝑎0−1=0， ∴ 函数𝑦=𝑎𝑥−2−1的图象必过点(2,0)． 故答案为：(2,0)． 18. 【答案】 1 3【考点】

对数的运算性质 指数函数的图象 【解析】

本题首先通过函数过定点，运用指数的相关特征进行求解得𝑚=8，𝑛=2，然后根据对数的基本运算进行求解即可 【解答】

解：令𝑥−8=0， 解得𝑥=8，

则𝑦=3−1=2，即恒过定点𝐴(8，2)， ∴ 𝑚=8，𝑛=2， ∴ log𝑚𝑛=log82=log28=3. 2

log21

故答案为：3. 19.

【答案】 (1, 4) 【考点】

指数函数的图象

1

试卷第12页，总20页

指数函数的性质

【解析】

解答此题的关键在于理解指数函数的图像与性质的相关知识，掌握𝑎0=1, 即𝑥=0时，𝑦=1，图象都经过(0, 1)点;𝑎𝑥=𝑎，即𝑥=1时，𝑦等于底数𝑎;在01, 𝑥>0时，01时:𝑥<0时,00时，𝑎𝑥>1． 【解答】

解：∵ 𝑦=𝑎𝑥恒过定点(0, 1)，

而函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−1+3(𝑎>0，且𝑎≠1)的图象，

是把𝑦=𝑎𝑥的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的， ∴ 函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−1+3(𝑎>0，且𝑎≠1)的图象一定过定点(1, 4)． 故答案为：(1, 4)．

三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，每题 10 分 ，共计80分 ） 20. 【答案】 解：𝑦=2

|𝑥−1|

𝑥≥1

={1𝑥−1， (2)，𝑥<1

2𝑥−1，则对应的图象为

【考点】

指数函数的图象 【解析】

利用分段函数的表达式结合指数函数的图象和性质即可得到结论． 【解答】 解：𝑦=2|𝑥−1|={

𝑥≥1

， 1

(2)𝑥−1，𝑥<12𝑥−1，则对应的图象为

试卷第13页，总20页

21.

【答案】

解：画出𝑓(𝑥)=3𝑥的图象（虚线所示），（1）把𝑓(𝑥)=3𝑥的图象向右平移一个单位即可得到𝑦=𝑓(𝑥−1)的图象（蓝色曲

线）；

（2）把𝑓(𝑥)=3𝑥的图象向下平移一个单位即可得到𝑦=𝑓(𝑥)−1的图象（ 红色曲线）． 【考点】

指数函数的图象 【解析】

根据图象的平移即可得到，左加右减，上加下减． 【解答】

解：画出𝑓(𝑥)=3𝑥的图象（虚线所示），（1）把𝑓(𝑥)=3𝑥的图象向右平移一个单位即可得到𝑦=𝑓(𝑥−1)的图象（蓝色曲

线）；

（2）把𝑓(𝑥)=3𝑥的图象向下平移一个单位即可得到𝑦=𝑓(𝑥)−1的图象（ 红色曲线）． 22.

【答案】

解：(1)因为 𝑓(𝑥)=𝑎2𝑥−𝑎𝑥+2𝑎(𝑎>0 且𝑎≠1) 的图象经过点 𝐴(1,6)， 所以 𝑓(1)=𝑎2+𝑎=6， 因为𝑎>0且𝑎≠1， 所以 𝑎=2.

所以 𝑓(𝑥) 的解析式为 𝑓(𝑥)=4𝑥−2𝑥+4.

(2)由(1)知，𝑓(𝑥)=4𝑥−2𝑥+4=(2𝑥)2−2𝑥+4=(2𝑥−2)2+

试卷第14页，总20页

1

154

，

当2𝑥=，即𝑥=−1时，

21

𝑓(𝑥)取得最小值. 4

15

【考点】

指数函数的图象

指数函数的定义、解析式、定义域和值域

【解析】 此题暂无解析 【解答】

解：(1)因为 𝑓(𝑥)=𝑎2𝑥−𝑎𝑥+2𝑎(𝑎>0 且𝑎≠1) 的图象经过点 𝐴(1,6)， 所以 𝑓(1)=𝑎2+𝑎=6， 因为𝑎>0且𝑎≠1， 所以 𝑎=2.

所以 𝑓(𝑥) 的解析式为 𝑓(𝑥)=4𝑥−2𝑥+4.

(2)由(1)知，𝑓(𝑥)=4𝑥−2𝑥+4=(2𝑥)2−2𝑥+4=(2𝑥−)2+

21

154

，

当2𝑥=2，即𝑥=−1时， 𝑓(𝑥)取得最小值. 415

1

23. 【答案】

解：（1）根据题意，𝑓(𝑥+2)=3𝑥令𝑡=𝑥+2，则𝑥=𝑡−2，

2

2+4𝑥+4

=3(𝑥+2)，

2

则𝑓(𝑡)=3𝑡，

2

故𝑓(𝑥)=3𝑥；

2

（2）由（1）可得，𝑓(𝑥)=3𝑥，易得其定义域为𝑅，

2

又由于𝑓(−𝑥)=3𝑥=𝑓(𝑥)， 故𝑓(𝑥)为偶函数；

（3）若𝑓(𝑥−2)>𝑓(𝑥+3)， 即3(𝑥−2)>3(𝑥+3)， 即(𝑥+2)2>(𝑥+3)2， 解可得：𝑥<−2．

【考点】

函数奇偶性的性质

函数解析式的求解及常用方法 函数奇偶性的判断 指数函数的图象 【解析】

（1）根据题意，𝑓(𝑥+2)=3𝑥代入𝑓(𝑥)中即可得答案；

2+4𝑥+4

2

2

1

=3(𝑥+2)，利用换元法令𝑡=𝑥+2，则𝑥=𝑡−2，

2

2

（2）根据题意，先求出𝑓(𝑥)=3𝑥的定义域为𝑅，进而求出又由于𝑓(−𝑥)=3𝑥，分析

试卷第15页，总20页

2

𝑓(−𝑥)与𝑓(𝑥)的关系即可得答案；

（3）由函数的解析式可将𝑓(𝑥−2)>𝑓(𝑥+3)转化为3(𝑥−2)>3(𝑥+3)，再由指数函数的性质可得(𝑥+2)2>(𝑥+3)2，解可得答案． 【解答】

解：（1）根据题意，𝑓(𝑥+2)=3𝑥令𝑡=𝑥+2，则𝑥=𝑡−2，

2

2+4𝑥+4

2

2

=3(𝑥+2)，

2

则𝑓(𝑡)=3𝑡，

2

故𝑓(𝑥)=3𝑥；

2

（2）由（1）可得，𝑓(𝑥)=3𝑥，易得其定义域为𝑅，

2

又由于𝑓(−𝑥)=3𝑥=𝑓(𝑥)， 故𝑓(𝑥)为偶函数；

（3）若𝑓(𝑥−2)>𝑓(𝑥+3)， 即3(𝑥−2)>3(𝑥+3)， 即(𝑥+2)2>(𝑥+3)2， 解可得：𝑥<−．

21

2

2

24. 【答案】

解：（1）∵ 函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−1(𝑥≥0)的图象经过点(2, 2)， ∴ 𝑎2−1=𝑎=2，

（2）由（1）得𝑓(𝑥)=()𝑥−1，(𝑥≥0)函数为减函数，

21

1

1

当𝑥=0时，函数取最大值2， 故𝑓(𝑥)∈(0, 2]，

∴ 函数𝑦=𝑓(𝑥)+1=()𝑥−1+1(𝑥≥0)∈(1, 3]，

21

故函数𝑦=𝑓(𝑥)+1(𝑥≥0)的值域为(1, 3] 【考点】

指数函数的性质 指数函数的图象 【解析】

（1）将点(2, )代入函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−1(𝑥≥0)的解析式，可得𝑎的值；

21

（2）结合指数函数的图象和性质，及𝑥≥0，可得函数的值域． 【解答】

解：（1）∵ 函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−1(𝑥≥0)的图象经过点(2, 2)， ∴ 𝑎2−1=𝑎=2，

（2）由（1）得𝑓(𝑥)=(2)𝑥−1，(𝑥≥0)函数为减函数， 当𝑥=0时，函数取最大值2，

试卷第16页，总20页

1

1

1

故𝑓(𝑥)∈(0, 2]，

∴ 函数𝑦=𝑓(𝑥)+1=()𝑥−1+1(𝑥≥0)∈(1, 3]，

21

故函数𝑦=𝑓(𝑥)+1(𝑥≥0)的值域为(1, 3] 25.

【答案】 解：（1）∵ 𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)， ∴ 1+2−𝑥=−1+2𝑥， 即

𝑎⋅2𝑥−11+2𝑥𝑎−2−𝑥

𝑎−2𝑥

=

2𝑥−𝑎1+2𝑥

，

∴ 𝑎=1， ∴ 𝑓(𝑥)=1+2𝑥．

（2）函数𝑓(𝑥)为 𝑅 上的减函数， ∵ 𝑓(𝑥)的定义域为 𝑅，

∴ 任取𝑥 1，𝑥 2∈𝑅，且𝑥 2>𝑥 1， ∴ 𝑓(𝑥 2)−𝑓(𝑥 1)=

1−2𝑥21+2𝑥2

1−2𝑥

−

1−2𝑥11+2𝑥1

=

2(2𝑥1−2𝑥2)

(1+2𝑥1)(1+2𝑥2)

∵ 𝑥 2>𝑥 1，∴ 2𝑥2>2𝑥2>0．

∴ 𝑓(𝑥 2)−𝑓(𝑥 1)<0即𝑓(𝑥 2)<𝑓(𝑥 1)． ∴ 函数𝑓(𝑥)为 𝑅 上的减函数．----

（3）由（2）知，函数𝑓(𝑥)在[0, 2]上的为减函数， ∴ 𝑓(2)≤𝑓(𝑥)≤𝑓(0)， 即−5≤𝑓(𝑥)≤0，

即函数的值域为[−, 0]−−−−−−−−−−

53

3

【考点】

指数函数的图象

函数单调性的判断与证明

【解析】

（1）根据条件建立方程关系即可求𝑎的值；

（2）根据函数单调性的定义判断并证明函数𝑓(𝑥)的单调性； （3）结合函数奇偶性和单调性的定义即可求𝑓(𝑥)在[0, 2]上的值域． 【解答】 解：（1）∵ 𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)， ∴ 1+2−𝑥=−1+2𝑥， 即

𝑎⋅2𝑥−11+2𝑥𝑎−2−𝑥

𝑎−2𝑥

=1+2𝑥，

1−2𝑥

2𝑥−𝑎

∴ 𝑎=1， ∴ 𝑓(𝑥)=1+2𝑥．

（2）函数𝑓(𝑥)为 𝑅 上的减函数，

试卷第17页，总20页

∵ 𝑓(𝑥)的定义域为 𝑅，

∴ 任取𝑥 1，𝑥 2∈𝑅，且𝑥 2>𝑥 1， ∴ 𝑓(𝑥 2)−𝑓(𝑥 1)=

1−2𝑥21+2

𝑥2−

1−2𝑥11+2𝑥1

=

2(2𝑥1−2𝑥2)

(1+2𝑥1)(1+2𝑥2)

∵ 𝑥 2>𝑥 1，∴ 2𝑥2>2𝑥2>0．

∴ 𝑓(𝑥 2)−𝑓(𝑥 1)<0即𝑓(𝑥 2)<𝑓(𝑥 1)． ∴ 函数𝑓(𝑥)为 𝑅 上的减函数．----

（3）由（2）知，函数𝑓(𝑥)在[0, 2]上的为减函数， ∴ 𝑓(2)≤𝑓(𝑥)≤𝑓(0)， 即−≤𝑓(𝑥)≤0，

53

即函数的值域为[−5, 0]−−−−−−−−−− 26.

【答案】 解：（1）因为𝑎𝑥+1>0，

所以𝑓(𝑥)的值域是{𝑦|𝑦>−2}．

设𝑦=𝑎𝑥+1−2，解得𝑥=log𝑎(𝑦+2)−1， 则𝑓−1(𝑥)=log𝑎(𝑥+2)−1，{𝑥|𝑥>−2}．

（2）解：当𝑎>1时，𝑓−1(𝑥)=log𝑎(𝑥+2)−1为(−2, +∞)上的增函数， 所以𝑓−1(0)+𝑓′(1)=0即(log𝑎2−1)+(log𝑎3−1)=0 解得𝑎=√6．

所以𝑓(𝑥)的反函数为𝑓−1(𝑥)=log𝑎(𝑥+2)−1，(𝑥>−2)．

（3）解：当𝑎>1时，

函数𝑓−1(𝑥)是(−2, +∞)上的增函数，且经过定点(−1, −1)．

所以𝑓−1(𝑥)的图象不经过第二象限的充要条件是𝑓−1(𝑥)的图象与𝑥轴的交点位于𝑥轴的非负半轴上．

令log𝑎(𝑥+2)−1=0，解得𝑥=𝑎−2， 由𝑎−2≥0，解得𝑎≥2． 【考点】 反函数

指数函数的图象 指数函数综合题

【解析】

（1）欲求原函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+1−2的反函数，即从原函数式中反解出𝑥，后再进行𝑥，𝑦互换，即得反函数的解析式．

（2）先研究𝑓−1(𝑥)在[0, 1]的单调性，得到当𝑥取何值时，此函数取得最值，最后得到等式：𝑓−1(0)+𝑓′(1)=0，解此关于𝑎方程即可求得𝑎值；

（3）由对数函数的图象可知，𝑓−1(𝑥)的图象不经过第二象限的充要条件是𝑓−1(𝑥)的图象与𝑥轴的交点位于𝑥轴的非负半轴上，从而列出等式求出图象与𝑥轴交点横坐标𝑥=𝑎−2，令其非负即可求得𝑎的取值范围． 【解答】 解：（1）因为𝑎𝑥+1>0，

所以𝑓(𝑥)的值域是{𝑦|𝑦>−2}．

试卷第18页，总20页

3

设𝑦=𝑎𝑥+1−2，解得𝑥=log𝑎(𝑦+2)−1， 则𝑓−1(𝑥)=log𝑎(𝑥+2)−1，{𝑥|𝑥>−2}．

（2）解：当𝑎>1时，𝑓−1(𝑥)=log𝑎(𝑥+2)−1为(−2, +∞)上的增函数， 所以𝑓−1(0)+𝑓′(1)=0即(log𝑎2−1)+(log𝑎3−1)=0 解得𝑎=√6．

所以𝑓(𝑥)的反函数为𝑓−1(𝑥)=log𝑎(𝑥+2)−1，(𝑥>−2)．

（3）解：当𝑎>1时，

函数𝑓−1(𝑥)是(−2, +∞)上的增函数，且经过定点(−1, −1)．

所以𝑓−1(𝑥)的图象不经过第二象限的充要条件是𝑓−1(𝑥)的图象与𝑥轴的交点位于𝑥轴的非负半轴上．

令log𝑎(𝑥+2)−1=0，解得𝑥=𝑎−2， 由𝑎−2≥0，解得𝑎≥2． 27. 【答案】

解：（1）函数𝑓(𝑥)=()|𝑥−1|={1的图象如下图所示：

3𝑥−1

(3)，𝑥>1

1

(3)1−𝑥，𝑥≤1

1

（2）由（1）中函数图象可得：

函数𝑓(𝑥)的单调递增区间为：(−∞, 1]， 单调递减区间为：[1, +∞)， （3）由（1）中函数图象可得： 函数𝑓(𝑥)的值域为(0, 1]，

当𝑥=1时，函数𝑓(𝑥)取最大值1， 无最小值；

（4）由（1）中函数图象可得： 关于𝑥的方程𝑓(𝑥)=𝑚有负数根， 1

𝑚∈(0, )

3【考点】

分段函数的应用 指数函数的图象

【解析】

（1）先将函数解析式，化为分段函数，进而可得函数图象； （2）数形结合可得函数的单调区间； （3）数形结合可得函数的最值点和值域；

（4）数形结合，可得方程𝑓(𝑥)=𝑚有负数根时𝑚的取值范围． 【解答】

试卷第19页，总20页

解：（1）函数𝑓(𝑥)=

1

()|𝑥−1|3

3={1的图象如下图所示：

()𝑥−1，𝑥>1

3

()1−𝑥，𝑥≤1

1

（2）由（1）中函数图象可得：

函数𝑓(𝑥)的单调递增区间为：(−∞, 1]， 单调递减区间为：[1, +∞)， （3）由（1）中函数图象可得： 函数𝑓(𝑥)的值域为(0, 1]，

当𝑥=1时，函数𝑓(𝑥)取最大值1， 无最小值；

（4）由（1）中函数图象可得： 关于𝑥的方程𝑓(𝑥)=𝑚有负数根， 1

𝑚∈(0, )

3

试卷第20页，总20页