圆和扇形学而思讲义

圆和扇形的周长与面积

内容提要

圆形

周长和面积 扇形

认识一些概念：

S 面积 C 周长 r 半径 d 直径

 圆周率 无限不循环小数（通常取3或3.14）

公式总结:

圆的面积Sr2 圆的周长C=2rd

扇形的面积S=r2nn扇形的弧长 ：2r 360 360n2r 360 扇形的周长：C=2r

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一些特殊的图形： １．弓形：

弓形通常只求面积

弓形面积＝扇形面积－三角形面积（除了半圆）

２．“弯角”：

弯角的面积＝正方形－扇形

３．“谷子”：

“谷子”的面积＝弓形面积×2

常用的思想方法：

１．转化思想（复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的） ２．等积变形（割补、平移、旋转等） ３．借来还去（加减法）

４．外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的“关系”。就是我们暑期学

习的“求反面”）

５．容斥（实际上容斥思想是贯穿于加减法始终的。我们把两部分面积加起来，去掉总面积，剩下的

就是重叠部分面积）

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例1

一个大圆内有4个小圆，其直径的和等于大圆的直径。问：大圆周长与所有小圆周长之和哪个长？为什么？

拓展

1角钱硬币的直径是19mm，地球赤道直径是12740千米。大约67亿枚一角钱硬币的直径和地球赤道直径是相等的。那么这些硬币的周长和地球赤道周长哪个长？

3

例2

如图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆。求阴影部分面积。（π取3）

ADBC

例3

为4厘米的正方形，以AB、BC、CD、DA分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积。（π取3）

ADBaC

4

例4

求如图中阴影部分的面积。（圆周率取3.14）

44

例5

如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为S1，空白部分面积为S2，那么这两个部分的面积之比是多少？（圆周率取3.14）

5

例6

如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？（圆周率取3.14）

DAEBCF

例7

如图，求阴影部分的面积。（π取3）

345

6

拓展

猫耳朵模型

例8

求图中阴影部分的面积。（π取3）

454520cm

7

例9

如图，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半径AE6厘米，扇形CBF的半径CB4厘米，求阴影部分的面积。（π取3）

AFDEBC

例10

如图中三个圆的半径都是5cm，三个圆两两相交于圆心。求阴影部分的面积和。（圆周率取3.14）

8

例11

计算图中阴影部分的面积(单位：分米)。

105A

例12

如图是一个直径为3cm的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60°，此时B点移动到B’点，求阴影部分的面积。（π取3）

B'60AB

9

例13

如图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，∠ABC=60°，此时BC长5厘米.以点B为中心，将△ABC顺时针旋转120°，点A、C分别到达点E、D的位置.求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积。（π取3）

ECABD

例14

草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊(见如图)。问：这只羊能够活动的范围有多大？（π取3.14）

30

10

测试题

1. 根据图中给出的数值，求这个图形的周长和面积（3.14）

12r=16

2. 求下列各图中阴影部分的面积：

4

a10b10(1)

(2)

3. （实验中学07年期末考试题）

如下图，长方形ABCD，长是8 cm，则阴影部分的面积 。（3.14）

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4. 在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差。(圆周率取3.14)

D E

M N A B C

5. 如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20，阴影甲的面积比阴影乙的面积大7，求

BC长。（取3.14）

A甲乙BC

6. 用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板。问：所余下的边

角料的总面积是多少平方厘米？

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7. 如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径。已知ABBC10，那么

阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14)

ABPDC

8. 一只羊被拴在一个长为4米，宽为3米的长方形的羊圈内，在B处有一个缺口，羊可以自由出入，

拴绳长9米，那么羊能够到达的地方的面积约为 平方米。(取3.14)

ABD

C

答 案

1．18.28；23.14

2．25；ab

3．3.44平方厘米

4．1.42

5．15 6．8

7．32.125

8．50.465

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