高中数学数列知识点总结(精华版)

..

一、数列

1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序〞排列的，在这里，只强调有“次序〞，而不强调有“规 律〞．因此，如果组成两个数列的数一样而次序不同，那么它们就是不同的数列．

⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a与项数n是两个根本不同的概念．

⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列

2.通项公式：如果数列an的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫

n

做这个数列的通项公式，即af(n)

n.

3.递推公式：如果数列an的第一项〔或前几项〕，且任何一项an与它的前一项

a〔或前几项〕间的关系可以用一个式子来表示，即anf(an1)或anf(an1,an2)， n1

那么这个式子叫做数列 a的递推公式.如数列an中，a11,an2an1，其中

n an2an1是数列an的递推公式.

4.数列的前n项和与通项的公式

① Sna1a2a；②

n

an.

SS(n2)

nn1

5.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.

6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；

S(n1) 1

有界数列，无界数列.

①递增数列:对于任何nN,均有an1an. ②递减数列:对于任何nN,均有an1an. ③摆动数列:例如:1,1,1,1,1,. ④常数数列:例如:6,6,6,6,⋯⋯. ⑤有界数列:存在正数M使anM,nN. 1、

⑥无界数列:对于任何正数M,总有项

n

a使得anM. n

1

〕； 25

a2(nN) n

n156

* ，那么在数列{}

a的最大项为__〔答： n

an

2、数列{}

an，其中a,b均为正数，那么an与an1的大小关系为___〔答：

a的通项为

bn1 n aan1〕；

n

2

3、数列{a}中，a是递增数列，XX数的取值X围〔答：3〕；

ann，且{}nnn

4、一给定函数yf(x)的图象在以下图中，并且对任意a(0,1)，由关系式an1f(an)

1 *得到的数列{}

a满足an1an(nN)，那么该函数的图象是〔〕〔答：A〕 n

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二、等差数列

1、等差数列的定义：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，

那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即 ann且

.(或

an1and(nN*)). 1d(nN*,n

2)

a

2、〔1〕等差数列的判断方法：

①定义法：

an1and(常数)an为等差数列。

②中项法：2an1anan2an为等差数列。

③通项公式法：

ananb〔a,b为常数〕an为等差数列。

2〔A,B为常数〕an为等差数列。④前n项和公式法：snAnBn

如设{a}是等差数列，求证：以b

n

等差数列。

aand或anam(nm)d。公式变形为:ananb. 〔2〕等差数列的通项： n

1(1) 其中a=d,b=a1－d.

如1、等差数列{a}中，a1030，a2050，那么通项an〔答：2n10〕；

n

2、首项为-24的等差数列，从第10项起开场为正数，那么公差的取值X围是______

8

〔答： d3〕

3

n(aa)n(n1)

〔3〕等差数列的前n和：1

n

S，Sna1d。公式变形为： nn

22

d

1,

n

a1a2an =

n

nN*为通项公式的数列{b}为

n

d 2

sn An Bn ，其中A=2

，B=

1

an,s

a.注意：n,d,a

n

中的三者可以求

2

另两者，即所谓的“知三求二〞。

1

3

a，前n项和 n

15

S，那么 n

如数列{a}中，

n

*

aa(n2,nN)，

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nn1

2

a＝＿，n＝＿〔答：a13，n10〕；〔2〕数列{} 1n

求数列{|a|}的前n项和Tn〔答：

n

T n

2*

12nn(n6,nN) 2*

n12n72(n6,nN)

2 2

2

S12nn，

a的前n项和 n

〕.

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ab A。 2

〔4〕等差中项：假设a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且

提醒：〔1〕等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素： a、d、n、an及

1

S，其中a1、d称作为根本元素。只要这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个， n

即知3求2。〔2〕为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为⋯， a2d,ad,a,ad,a2d⋯〔公差为d〕；偶数个数成等差，可设为⋯， a3d,ad,ad,a3d,⋯〔公差为2d〕

7.等差数列的性质：

aanddnad是关于n的一

n

1(1)1

n(n1)dd

次函数，且斜率为公差d；前n和 2

Snadn(a)n是关于n的二次 n11

222

Sn Sn

函数且常数项为0.等差数列{an}中， 〕均在直线y=

n n

是n的一次函数，且点〔n，

〔1〕当公差d0

时，等差数列的通项公式

d x 2

d +(a1－ 2

)上

〔2〕假设公差d0，那么为递增等差数列，假设公差d0，那么为递减等差数列，假设公差 d0，那么为常数列。

〔3〕对称性：假设an是有穷数列，那么与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之 和.当mnpq时,那么有

amaaa，特别地，当mn2p时，那么有

npq

aa2a. mnp

如1、等差数列{a}中，Sn18,anan1an23,S31，那么n＝____〔答：27〕；

n

2、在等差数列 a中，a100,a110，且a11|a10|，Sn是其前n项和，那么A、

n

S、S1,S2S10都小于0，S11,S12都大于0B1,S2S19都小于0，S20,S21都大于 0C、

S1,S2S5都小于0，S6,S7都大于0D、S1,S2S20都小于0，S21,S22

都大于0〔答：B〕

(4)项数成等差,那么相应的项也成等差数列akkm,km,...(,*)成等差.假设

aa2kmN

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.即

,

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*

{an}、{bn}是等差数列，那么{kan}、{kanpbn}(k、p是非零常数)、{apnq}(p,qN)、 2〕．，⋯也成等差数列，而{}

S,SS,SS〔公差为nda成等比数列；假设{an}是 n2nn3n2n

a

n

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等比数列，且0

a，那么{lgan}是等差数列. n

如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，那么它的前3n和为。

〔答：225〕

〔5〕在等差数列{a}中，当项数为偶数2n时，s()；ssnd

n

nn

.

1

奇

s1 偶 a n a s

n 奇

项数为奇数2n1时，s2n1(2n1)an；ssa1

偶；

奇

s1 偶 s 奇

。 n n

如1、在等差数列中，S11＝22，那么a6＝______〔答：2〕；

2、项数为奇数的等差数列{a}中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的

n

中间项与项数〔答：5；31〕.

〔6〕单调性：设d为等差数列an的公差，那么

d>0an是递增数列；d<0an是递减数列；d=0an是常数数列

(7)假设等差数列{a}、{bn}的前n和分别为An、Bn，且()

n

B n

a(2n1)aA

f(2n1) . nn2n1

b(2n1)bB nn2n1

如设{ a}与{bn}是两个等差数列，它们的前n项和分别为Sn和Tn，假设

n S3n1

n，那么 T4n3 n

a ___________〔答：62 n n b n

8n7

l m

=

m n

〕

A n

fn

，那 么

〔8〕设al，am，an为等差数列中的三项，且al与am，am与an的项距差之比

〔≠－1〕，那么am=

ala 1

．

n

n m

(a－b)．

n m

〔9〕在等差数列{a n}中，Sn=a，Sm=b(n＞m)，那么Smn=

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8、an成等差数列，求sn的最值问题：

a a

①

假设

a,d<0且满足

1

0

0,

n,那么sn最大；

0 n1

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..

②假设

a0,d>0且满足 1

a a

n,那么sn最小. 0, 0 n1

“首正〞的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负〞的递增等 a 0a 0 差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组 n n

或 1 a

n 1n 0a

0 确定出前多少项为非负〔或非正〕；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转 *

化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性

nN。上述两种方法是运用了哪种数学 思想？〔函数思想〕，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？

如1、等差数列{a}中，

n

a125，

SS，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

917

〔答：前13项和最大，最大值为169〕；

2、假设{a}是等差数列，首 a10,a2003a20040，

项

n

a2003a20040，那么使前n项和Sn0成立的最大正整数n是〔答：4006〕

(10)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列， 且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项 数不一定一样，即研究 ab.

nm

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三、等比数列

1、等比数列的有关概念：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常 a

n〔或

数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。即(*,2)

qN nn

a n1 a 1

qn) n

(*

N a

n

a

为常数〕，其中q0,an0或

2、等比数列的判断方法：定义法n1(

qq a

n

(n2)。

如1、一个等比数列{ a}共有2n1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，那么an1

n

aa

n1n aa nn

1

5

为____〔答： 〕；

6

2、数列{}

a中，Sn=4an1+1(n2)且a1=1，假设bnan12an，求证：数列｛bn｝ n

是等比数列。 3、等比数列的通项：1

aaq或 n1

n

aaq。 nm

nm

如设等比数列{}

a中，a1an66，a2an1128，前n项和Sn＝126，求n和公比 n

q.〔答：n6，

1 q或2〕

2

Sna；当q1时， n1

4、等比数列的前n和：当q1时，

n

S aq n 1(1)

1q

aaq 1n 1q

。

如等比数列中，q＝2，S

a3aa〔答：44〕

699 99=77，求

提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断 公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对 q分q1和q1两种情形讨论求解。

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5、等比中项：如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=ab.

提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。 如两个正数a,b(ab)的等差中项为A，等比中项为B，那么A与B的大小关系为 ______〔答：A＞B〕

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提醒：〔1〕等比数列的通项公式及前n项和公式中，涉及到5个元素：

a、q、n、an

1

及 S

n ，

个，即知3求2；〔2〕为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为⋯， aa ,,a,aq,aq qq

2

⋯〔公比为q〕；但偶数个数成等比时，不能设为⋯ 2

aa

3,,aq,aq qq

3 ，⋯，

因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为

2

q。如有四个数，其中前三

个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三 个数的和为12，求此四个数。〔答：15，,9，3,1或0,4，8,16〕 6、等比数列的性质：

〔1〕对称性：假设an是有穷数列，那么与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积. mnpq

am.anap.aq，特别地，当mn2p时，那么有

am.anap.

2

即当时，那么有

如1、在等比数列{}

a中，a3a8124,a4a7512，公比q是整数，那么a10=___〔答：

n

512〕；

2、各项均为正数的等比数列{a}中，假设 a5a69，那么

n

logalogaloga

3132310

〔答：10〕。

(2)假设{an}是公比为q的等比数列，那么{|an|}、{a

1 2

}也是等比数 n}、{kan}、{ a n

a n

21

列，其公比分别为|q|}、{q }、{q}、{

q }。假设{}{}

a、b成等比数列，那么{anbn}、{} nn

b n

成等比数列；假设{}

a是等比数列，且公比q1，那么数列Sn,S2nSn,S3nS2n，⋯也 n 是等比数列。当q1，且n为偶数时，数列

S,SS,SS，⋯是常数数列0， n2nn3n2n

它不是等比数列.假设an是等比数列，且各项均为正数，那么logaan成等差数列。假设项数 为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S1与T1，次n项和与次n项积分别

2与T2，最后n项和与n项积分别为S3与T3，那么S1，S2，S3成等比数列，T1，T2， 为S

T3亦成等比数列

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如1

n

logaxn1loaxg n(nN*)，且

1

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100

100a〕；

x1x2x100100，那么

xxx.〔答：

101102200

2、在等比数列{}

a中，Sn为其前n项和，假设S3013S10,S10S30140，那么S20 n

的值为______〔答：40〕

(3)单调性：假 a10,q1，或a10,0q1那么{an}为递增数列；假设a10,q1, 设

或 a10,0q1那么{an}为递减数列；假设q0，那么{an}为摆动数列；假设q1，那么{an}为 常数列.

aa

1n1n，这里ab0，但a0,b0，

(4)当q1时，aqb Sq

n11

qq

这是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据 S，判断数列{an}是否为等比数

n n

列。如假设{a}是等比数列，且S3r，那么r＝〔答：－1〕

nn

mn

(5)

SSqSSqS.如设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn， mnmnnm

假 SSS成等差数列，那么q的值为_____〔答：－2〕 设 1,,2SSS成等差数列，那么q的值为_____〔答：－2〕

nnn

(6)在等比数列{a}中，当项数为偶数2n时，S偶qS奇；项数为奇数2n1时，

n S奇aqS偶.

1

(7)如果数列{}

a既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列，故常数 n 数列{a}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

n

如设数列an的前n项和为Sn〔nN〕，关于数列an有以下三个命题：①假设

2，

an(，那么an既是等差数列又是等比数列；②假设Snanbna、bR a1nN )n

n 那么an是等差数列；③假S11，那么an是等比数列。这些命题中，真命题的序号

设 n 是〔答：②③〕

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⑧等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比数列中，Sm+n=Sn+qm=Sm+q

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nSmS

n

；

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四、难点突破

1．并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一．已 知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的．

2的．差等在，而“同一个常数〞那么是保证至少含有3项．所以，一个数列是等差(比)数列的必要非充 (差分条件是这个数列至少含有3项． 比()比3n}与an是不同的，前者表示数列a1， 等)．于数同列a一的合{a 1，a2，⋯，an，⋯，}不同，差异有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一 2个定，常义个有确定数中X围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性． ⋯〞有，4．两21．a，aq，a，aq， 这⑴个注n

里对要意，的2 设点⋯2aq ：元项，，⋯； 一的起技而是〞313 2项起〞，二是“每一项与它前一项 后巧

⑵对连续偶数个项同号．．的等比数列，假设其积为S，那么通常设⋯，aq 是时者，aq，aq，aq 为，仅，⋯． 了等表使比

．一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时， 每示5数一这列2 要注意a n≠0，因为当an=0时，虽有a 项n=an1·an1成立，但{an}不是等比数列，即 个的与奇数它2数

=a·c〞是a、b、c成等比数列的必要非充分条件；比照等差数列{a “2b=a+ n}， “b n项；⑵数列a，a，⋯，a，⋯，与集 12n前个面项c〞是a、b、c成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清． 一与项偶6．由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列， 存 数

首先要注意特殊情况“0〞．等比数列的前n项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q=1 个

别，即： 和q≠1进展分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错． 欢送您的光临，Word文档下载后可修改编辑双击可删除页眉页脚谢谢！希望您提出您珍贵的意见，你的意见是我进步的动力。赠语；1、如果我们做与不做都会有人笑，如果做不好与做得好还会有人笑，那么我们索性就做得更好，来给人笑吧！2、现在你不玩命的学，以后命玩你。、我不知道年少轻狂，我只知道胜者为王。、不要做金钱、权利的奴隶；应学会做“金钱、权利〞的主人。、什么时候离光明最近？那就是你觉得黑暗太黑的时候。、最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。、压力不是有人比你努力，而是那些比你牛×几倍的人依然比你努力。

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