高考集合知识点总结及典型例题

（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；

（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系

（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算

（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用

二．【命题走向】

有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。

预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对。具体

三．【要点精讲】

1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合

（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作aA；若b不是集合A的元素，记作bA；

（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；

确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法：

非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N或N+； 整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R。 2．集合的包含关系：

（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或AB）；

集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B；

*

（2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2个子集（其中2－1个真子集）； 3．全集与补集：

（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U； （2）若S是一个集合，AS，则，CS={x|xS且xA}称S中子集A的补集；

n

n

（3）简单性质：1）CS(CS)=A；2）CSS=，CS=S 4．交集与并集：

（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集AB{x|xA且xB}。

（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。并集AB{x|xA或xB}

注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5．集合的简单性质：

（1）AAA,A,ABBA;

（2）AA,ABBA;

（3）(AB)(AB);

（4）ABABA;ABABB；

（5）CS（A∩B）=（CSA）∪（CSB），CS（A∪B）=（CSA）∩（CSB）。

四．【典例解析】

题型1：集合的概念

(2009湖南卷理)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__ 例1．已知全集UR，集合M{x2x12}和

N{xx2k1,k1,2,L}的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的

集合的元素共有( )

A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多个

1,3，有2个，选B. 解析 由M{x2x12}得1x3，则MN例2．集合A0,2,a,B1,a2,若AUB0,1,2,4,16,则a的值为



( )

题型2：集合的性质

例3．集合A0,2,a,B1,a2,若AUB0,1,2,4,16,则a的值为

( )

1.设全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={ x∈R︱x+ x－6=0}，则下图中阴影表示的集合为

（ ）

B．{3}

2



A．{2}

C．{－3，2} D．{－2，3}

2. 已知集合A={y|y-(a+a+1)y+a(a+1)>0},B={y|y-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，

2

2

2

2

则实数a的取值范围为（ ）．

例4．已知全集S{1,3,xx2x}，A={1,2x1}如果CSA{0}，则这样的实数

32x是否存在？若存在，求出x，若不存在，说明理由

题型3：集合的运算

例5已知函数f(x)定义域集合是B （1）求集合A、B

x122的定义域集合是A,函数g(x)lg[x(2a1)xaa]的x2（2）若AB=B,求实数a的取值范围．

例6．已知集合A1,3,5,7,9,B0,3,6,9,12,则AICNB( )

 A.1,5,7 B.3,5,7 C.1,3,9 D.1,2,3

题型4：图解法解集合问题

2y2xyx例7．（2009年广西北海九中训练）已知集合M=x|1，N=y|1，则

4329MN （ ）

A．

B．{(3,0),(2,0)} D．3,2

C．3,3

五．【思维总结】

集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。

1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、、

、、=、CSA、∪，∩等等；

2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；

3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。

① 区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ

③若集合A中有n(nN)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2，所有真子集的个数是2－1, 所有非空真子集的个数是22

nnn④区分集合中元素的形式： 如A{x|yx22x1}；

B{y|yx22x1}；

C{(x,y)|yx22x1}；

D{x|xx22x1}；

E{(x,y)|yx22x1,xZ,yZ}；

F{(x,y')|yx22x1}； yG{z|yx22x1,z}。

x⑤空集是指不含任何元素的集合。{0}、和{}的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为AB，在讨论的时候不要遗忘了

A的情况。

⑥符号“,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“Ø,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。

逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力