法律分析：双方私下收养孩子是违法的。因为收养孩子需要办理收养手续，不办理收养手续是违法的。
收养子女应当向县级以上民政部门登记；收养找不到生父母的未成年人的，应当在登记前予以公告。
收养人除了办理收养手续外，还需要满足以下条件才能收养孩子：
（一）无子女或只有一个子女；
（二）有抚养、教育和保护被收养人的能力；
（三）未患医学上认为不应该收养子女的疾病；
（四）无不利于被收养人健康成长的违法犯罪记录；
（五）年满三十岁。
法律依据：《中华人民共和国民法典》
第一千一百零五条 收养应当向县级以上民政部门登记。收养关系自登记之日起成立。
收养查找不到生父母的未成年人的，办理登记的民政部门应当在登记前予以公告。
收养关系当事人愿意签订收养协议的，可以签订收养协议。
收养关系当事人各方或者一方要求办理收养公证的，应当办理收养公证。
县级以上民政部门应当依法进行收养评估。
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