江西省南昌市第三中学2020—2021学年度高三第一学期第四次月考考试数学试卷

江西省南昌三中2020—2021学年度第四次月考考试

高三数学（文）试卷

一、 选择题（本大题共12小题，共60分）

1.已知集合Ax|1x27，Bx|log2x13，则ACRB（ ）

A.1,7 B.7,27

C.1,1

D.7,27

2.设复数z1i1i，则z的共轭复数为（ ） A. i

B. i

C. 1i D. 1i

3.命题： x0，都有sinxx”的否定为（ ）

A.x0，都有sinxx B.x0，都有sinxxx C. x0，使得sinx D.x0，使得sinxx 4.函数fxax(a0且a1)是增函数的一个充分不必要条件是（ ）

A. 0a12 B. 0a1 C. 2a3

D. a1

5. 曲线𝑓(𝑥)=𝑓′(1)𝑒𝑥−𝑥2+2在点(0,𝑓(0))处的切线的斜率等于（ ）

A. 2

2𝑒

𝑒

B. 2

𝑒−1

C. 𝑒−1

D.

4−2𝑒

𝑒−1

6.在ABC中，已知A30，a2,c2，则b=（ ）

A.

31 B. 31或31 C.62 D.62或62

7.已知向量a(m,1)，b(1,2)，若(a2b)b，则a与b夹角的余弦值为（ ）

A．61365 B．61365 C．21321313 D．13 8.圆M：(xm)2y24与双曲线C：y2x2a2b21（a0，b0）的两条渐近线相切于

A、B两点，若|AB|2，则C的离心率为（ ）

A. 233 B. 3

C. 2 D. 3

高三数学（文）9.已知函数f(x)sin(x)(0,2)的部分

图象如图所示，若f()f(223)，则（ ）

A. =2，=556B. =3，=18

C. =2，=53D. =3，=6

10.函数fxx33ax2bx2a2在x2时有极值0，那么ab的值为( )

A. 14 B. 40 C. 48 D. 14或40

11.在△𝐴𝐵𝐶中，D为BC边上一点，若△𝐴𝐵𝐷是等边三角形，且𝐴𝐶=4√3，则△𝐴𝐷𝐶面积的最大值为( )

A. 6√2

B. 6√3 C. 4√2 D. 4√3

12.设函数f(x)在R上存在导数fx，对任意的xR，有f(x)f(x)0，且

x[0,)时，fx2x．若f(a2)f(a)44a，则实数a的取值范围为（ ）

A. (,1]

B. [1,)

C. (,2]

D. [2,)

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.已知是第二象限角，且sin35，则sin(2)______． 14.已知函数f(x)（1x3）,x2，则f(0)的值为 ． f(x1),x215.设函数f(x)23x13x12sinx(x[2,2]的最大值为M，最小值为N，则M＋N=___＋第9页，共2页

16.已知高数f(x)的周期为4＋且x(1,3]时，f(x)1x2,x(1,1]2,x(1,3]＋若方程

1xmf(x)x恰有5个实数解（其中m＋0），则m的取值范围为_____________＋

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知等差数列an的公差为d，等差数列bn的公差为2，设Sn，Tn分别是数列an，

bn的前n项和，且b13，S23，S5T3.

（1）求数列an，bn的通项公式； （2）设c1nbna，求数列cn的前n项和为Mn.

nan1

18. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24＋16＋16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.

（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取2人做进一步的身体检查，求抽取的2人中至少有1人睡眠充足的概率.

19.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，DAB60，PD平面ABCD，

PDAD2，点E、F分别为AB和PD的中点.

（1）求证：直线AF//平面PEC； （2）求点A到平面PEC的距离.

高三数学（理）20.已知函数fxxlnx，gx12kx21kx1，曲线yfx与曲线ygx在x1处的切线互相垂直，记Fxfxgx.

（1）求实数k的值；

（2）若方程f(x)m有两个不相等实根，求m的取值范围； （3）讨论函数Fx的单调性.

x2y221．已知椭圆E：ab1（ab0）的左、右焦点分别是F、F32212，其离心率为2，

以F1为圆心以1为半径的圆与以F2为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆E上． （1）求椭圆E的方程；

（2）过椭圆上顶点A斜率为k的直线l与椭圆的另外一个交点为B，若△ABF2的面积为

3，求直线l的方程． 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线

Cs21的极坐标方程为sincox2t，曲线C122的参数方程为2（为参数），若曲

y22t线C1与C2相交于A、B两点.

（1）求曲线C1、C2的直角坐标方程;

（2）求点M1,2到A、B两点的距离之积. 23．已知a、b、𝑐∈𝑅+，且𝑎+𝑏+𝑐=6． （1）当𝑐=5时，求(1

1

𝑎2−1)(𝑏2−1)的最小值；

第2页，共2页

高三数学（文）第9页，共2页（2）证明：𝑎2+𝑏2−2𝑏+𝑐2−4𝑐≥−2．

南昌三中2020—2021学年度第四次考试

高三数学（文）答案

二、 选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合Ax|1x27，Bx|log2x13，则ACRB（ B ）

A.1,7 B.7,27

C.1,1

D.7,27

2.设复数z1i1i，则z的共轭复数为（ A ） A. i

B. i

C. 1i D. 1i

3.命题： x0，都有sinxx”的否定为（ D ）

A.x0，都有sinxx B.x0，都有sinxxx0xx C. ，使得sin D.x0，使得sinxx

4.函数fxax(a0且a1)是增函数的一个充分不必要条件是（ C ）

A. 0a12 B. 0a1 C. 2a3

D. a1

5. 曲线𝑓(𝑥)=𝑓′(1)𝑒𝑥−𝑥2+2在点(0,𝑓(0))处的切线的斜率等于（ B ）

A. 2

2

2𝑒

𝑒

B. 𝑒−1

C. 𝑒−1

D.

4−2𝑒𝑒−1

6.在ABC中，已知A30，a2,c2，则b=（ B ）

A.

31 B. 31或31 C.62 D.62或62

7.已知向量a(m,1)，b(1,2)，若(a2b)b，则a与b夹角的余弦值为（ D ）

A．61365 B．61321321365 C．13 D．13 228.圆M：(xm)2y24与双曲线C：yxa2b21（a0，b0）的两条渐近线相切于

A、B两点，若|AB|2，则C的离心率为（ A ）

A. 233 B. 3

C. 2

D. 3

高三数学（理）9.已知函数f(x)sin(x)(0,2)的部分

图象如图所示，若f()f(223)，则（ C ）

A. =2，=6B. 55 =，=

C. =2，= 3183D. 5 =3，=6

10.函数fxx33ax2bx2a2在x2时有极值0，那么ab的值为( )

A. 14 B. 40 C. 48 D. 14或40

【详解】函数fxx33ax2bx2a2，fx3x26axb，若在x2时有极值0，可得f20f20，

812a2b2a2则0ab0，解得：a2，b12.或a4，b36， 1212当a4，b36时，fx3x224x36满足题意函数fxx33ax2bx2a2在

x2时有极值0．

当a2，b12时，fx3x212x12，不满足题意：函数

fxx33ax2bx2a2在x2时有极值0．

ab40．

故选B．

11.在△𝐴𝐵𝐶中，D为BC边上一点，若△𝐴𝐵𝐷是等边三角形，且𝐴𝐶=4√3，则△𝐴𝐷𝐶面积的最大值为( )

A. 6√2

B. 6√3 C. 4√2 D. 4√3

第2页，共2页

【详解】由已知𝐴𝐶=4√3，∠𝐴𝐷𝐶=120°，如图所示；

可构造△𝐴𝐷𝐶的外接圆，其中点D在劣弧AC上运动， 当运动到弧中点时，△𝐴𝐷𝐶面积最大， 此时△𝐴𝐷𝐶为等腰三角形，

其面积为𝑆△𝐴𝐷𝐶=1

1

1

3

2×2𝐴𝐶⋅𝑡𝑎𝑛30°×𝐴𝐶=4×√3×(4√3)2=4√3．

故选：D．

12.设函数f(x)在R上存在导数fx，对任意的xR，有f(x)f(x)0，且

x[0,)时，fx2x．若f(a2)f(a)44a，则实数a的取值范围为（ ）

A. (,1]

B. [1,)

C. (,2] D. [2,)

【详解】设Gxfxx2＋ 则Gxfx2x,x0,时，

Gxfx2x0＋Gxfxx2fxx2Gx

Gx为偶函数，

Gx在0,上是增函数， x,0时单调递减.

所以fa2fa44a,

高三数学（文）可得fa244aa2faa2＋

f2aa22faa2＋

即Ga2Ga,a2a,a1＋

实数a的取值范围为,1＋故选A.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知是第二象限角，且sin35，则sin(42)______．答案：5 14.已知函数f(x)（13）x,x2，则f(0)的值为 ．答案：1 f(x1),x2915.设函数f(x)23x13x12sinx(x[2,2]的最大值为M，最小值为N，则M＋N=___＋答案：3

16.已知高数f(x)的周期为4＋且x(1,3]时，f(x)1x2,x(1,1]1x2,x(1,3]＋若方程

mf(x)x恰有5个实数解（其中m＋0），则m的取值范围为_____________＋

答案：

15,6

【详解】

mfxx有5个解，

第9页，共2页

等价于为yfx1x2,x1,1与2,x1,3y1x的图象有5个交点＋1xm

在同一坐标系内画出函数yfx与y1mx的图象，如图.

求出直线y1mx过点6,1和直线y12mx与半圆x4y21相切时的m的值分别为

15,6＋由图可得m15,6时＋

yfx1x2,x1,1与1x2,x1,3yx的图象有5个交点1m＋故答案为

15,6.

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.（本小题满分12分）

已知等差数列an的公差为d，等差数列bn的公差为2，设Sn，Tn分别是数列an，bn的前n项和，且b13，S23，S5T3. （1）求数列an，bn的通项公式；

（2）设cb1nna，求数列cn的前n项和为Mn.

nan1【详解】（1）ann，bn2n1

（2）由（1）得cn2n1111nn12n1nn1

所以Mn352n1111122311nn1， 即M21nn2n1n1n121n1

高三数学（理）18. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24＋16＋16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.

（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取2人做进一步的身体检查，求抽取的2人中至少有1人睡眠充足的概率.

【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2＋

由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，

因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．

（2）将7人中睡眠不足的4人分别记为A1 , A2 , A3 , A4 ,睡眠充足的3人分别记为B1 ,

B2 , B3，现从这7人中随机抽取2人的所有情况为：A1,A2，A1,A3，A1,A4，

A1,B1，A1,B2，A1,B3，A2,A3，A2,A4，A2,B1，A2,B2，A2,B3，A3,A4，A3,B1，A3,B2， A3,B3，A4,B1，A4,B2，A4,B3，B1,B2，B1,B3，B2,B3，共21种情况.

其中至少有1人睡眠充足的情况有：A1,B1，A1,B2，A1,B3，A2,B1，A2,B2，A2,B3，A3,B1，A3,B2， A3,B3，A4,B1，A4,B2，A4,B3，B1,B2，B1,B3，B2,B3，共15种情况.

设所求概率为P，则P152157.

19.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，DAB60，PD平面ABCD，

PDAD2，点E、F分别为AB和PD的中点.

第2页，共2页

（1）求证：直线AF//平面PEC； （2）求点A到平面PEC的距离.

【详解】（1）取PC的中点Q，连结EQ、FQ， 由题意，FQ//DC且FQ12CD，AE//CD且AE12CD， 故AE//FQ且AEFQ，所以，四边形AEQF为平行四边形， 所以，AF//EQ，又EQ平面PEC，AF平面PEC， 所以，AF//平面PEC.

（2）设点A到平面PEC的距离为d. 由题意知在EBC中，

ECEB2BC22EBBCcosEBC 14212127，在PDE中PEPD2DE27， 在PDC中PCPD2CD222，

故EQPC，EQAF5，

SPEC1222510， 高三数学（文）S13AEC2132， 所以由VAPECVPAEC得：1310d13322， 解得d3010.

20.已知函数fxxlnx，gx12kx21kx1，曲线yfx与曲线ygx在x1处的切线互相垂直，记Fxfxgx.

（1）求实数k的值；

（2）若方程f(x)m有两个不相等实根，求m的取值范围； （3）讨论函数Fx的单调性.

【详解】（1）fx1lnx，f11，gxkx1k 由题意得，g11，即g1k1k1，∴k1

第9页，共2页

（2）由fx1lnx，可知fx在110,e上单调递减，在e,上单调递增，

当x1时 ，ff11ex有最小值

ee，

又

x0时，fx0；x时，fx

若方程f(x)m有两个不相等实根，则有1em0.

（3）由（1）可知，Fxxlnx122x1，x0，

Fxlnxx1，Fx1x11xx， 易知，当x0,1时Fx0，Fx单调递增， 当x1,时，Fx0，Fx单调递减， 所以FxF10

即Fx0恒成立，所以Fx在0,上单调递减.

x2y221．已知椭圆E：3a2b21（ab0）的左、右焦点分别是F1、F2，其离心率为2，以F1为圆心以1为半径的圆与以F2为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆E上． （1）求椭圆E的方程；

（2）过椭圆上顶点A斜率为k的直线l与椭圆的另外一个交点为B，若△ABF2的面积为

3，求直线l的方程． 高三数学（理）【详解】（1）设椭圆方程为x2y2a2b21（ab0），

由两圆交点在椭圆上，2a134，得a2，

由离心率为3a2b22，

a234，得b1， 所以椭圆C的方程为x24y21． （2）因为点A的坐标为0,1，所以直线l的方程为ykx1，

代入椭圆方程得到：x24kx1214k21x8kx0，因为xA0， 所以x8k144k1，yk2B2B4k21，

又因为直线l与x轴的交点坐标为1k,0，点F2的坐标为3,0，

所以1114k223k14k2153，解得4k32或k536， 所以，直线l的方程为y32x1或y536x1．

选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

第2页，共2页

22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线

【详解】（1）𝑎+𝑏+𝑐=6，且𝑐=5，所以𝑎+𝑏=1， 则(1𝑎

2−1)⋅(

2tx122C1的极坐标方程为s，曲线C2的参数方程为（为参数），若曲incos1𝑏

2−1)=

1−𝑎2𝑎2⋅

1−𝑏2𝑏2=

(1−𝑎)(1+𝑎)(1−𝑏)(1+𝑏)

𝑎2𝑏2

(1+𝑎)(1+𝑏)

2

y222t线C1与C2相交于A、B两点. （1）求曲线C1、C2的直角坐标方程;

（2）求点M1,2到A、B两点的距离之积. 【详解】由曲线C1的极坐标方程可得曲线C1的直角坐标方程为yx2,

由曲线C2的参数方程可得曲线C2的普通方程为xy10,

x12t（2）将曲线C22的参数方程 (t为参数),

y222t代入曲线C1的普通方程得：t22t20, 设A、B两点对应的参数分别为t1、t2， ∴t1t22, t1t22， 可得MAMBt1t22.

23．已知a、b、𝑐∈𝑅+，且𝑎+𝑏+𝑐=6． （1）当𝑐=5时，求(1

1

𝑎2−1)(𝑏2−1)的最小值； （2）证明：𝑎2+𝑏2−2𝑏+𝑐2−4𝑐≥−2．

高三数学（文）=

𝑎𝑏

=1+𝑎𝑏，

1=𝑎+𝑏≥2√𝑎𝑏(当且仅当𝑎=𝑏时取到等号)， ∴𝑎𝑏⩽1

1

4，1+𝑎𝑏≥9，

所以(1

1

𝑎2−1)⋅(𝑏2−1)⩾9，

当且仅当{𝑎=𝑏

1𝑎+𝑏=1

，即𝑎=𝑏=2时取到等号，

∴当𝑎=𝑏=111

2时(𝑎2−1)⋅(𝑏2−1)取到最小值为9；

（2）𝑎2+𝑏2−2𝑏+𝑐2−4𝑐=𝑎2+(𝑏−1)2+(𝑐−2)2−5， 由柯西公式：[𝑎2+(𝑏−1)2+(𝑐−2)2]·(12+12+12) ≥(𝑎+𝑏−1+𝑐−2)2(当且仅当𝑎=𝑏−1=𝑐−2时取到等号)，得𝑎2+(𝑏−1)2+(𝑐−2)2⩾

(𝑎+𝑏+𝑐−3)2

3

，

又因为𝑎+𝑏+𝑐=6，所以𝑎2+(𝑏−1)2+(𝑐−2)2≥3， 即𝑎2+𝑏2−2𝑏+𝑐2−4𝑐≥−2 (当且仅当{𝑎=𝑏−1=𝑐−2𝑎=1

𝑎+𝑏+𝑐=6

即

{

𝑏=2时取到等号)． 𝑐=3

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