课题 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 知识与 能力 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 2．能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直． 3．掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系． 学生填写学案的基础知识紧扣教材，扫除知识盲点，掌握考点中的必备知识；而后通过三个例题明确本节的考点及要求和应对方法规律。 三 维 教 学 目 标 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。 理解直线的倾斜角和斜率的概念，明确倾斜角与直线斜率的变化关系，会根据斜率判断两直线的位置关系，掌握直线方程的几种形式。 教 学 内 容 分 析 教学 重点 教学 难点 已知两直线位置关系求参数的值及直线五种方程的使用范围 对直线截距概念的理解 教 学 流 程 与 教 学 内 容 一、创设情境： 1.说明本节课重要性，引起学生的重视。 直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，也是直线的重要的几何要素。直线作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用. 直线的方程是解析几何的基础知识，对直线的方程的理解，直接影响学生能否培养起解析几何的思想方法，对后续研究的线性规划、圆、直线与圆的位置关系、圆锥曲线及直线与圆锥曲线的位置关系等内容有着很重要的作用。 2.对本节复习学案做点评，表扬好的，指出学案的常见错误。 3.大屏幕展示本节课怎么考和考什么？是学生明确本节课的目标。 二、过程： 1、知识整合。 使学生紧扣教材，扫除知识盲点；练考点巩固必备基础知识。 生A回答以下问题： 1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①一个前提：直线l与x轴-------； 一个基准：取x轴作为基准； 两个方向：x轴正方向与直线l向上的方向． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为 °. ③倾斜角的取值范围为 ． (2)直线的斜率 ①定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝ . ②计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝ 教师强调斜率与倾斜角的关系，及斜率的计算公式并请同学思考： 1．直线的倾斜角越大，斜率k就越大，这种说法对吗？ 生B回答；生C补充。 根据学生的总结得到相关答案： ππ提示：这种说法不正确．由k＝tan θθ≠2知，当 θ∈0，2时，θ π，π越大，斜率越大且为正；当θ∈时，θ越大，斜率也越大且为负．但 2 综合起来说是错误的 生D回答： 2．两条直线平行、垂直与其斜率间的关系 (1)两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔ ； ②当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为 ． (2)两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔ ； ②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为垂直． 生E回答： 2．在平面直角坐标系中，如果两条直线平行，则其斜率相等，正确吗？ 师生总结得到答案： 教师强调特殊情形： 生F回答： 3．直线方程的几种形式 ． 名称 点斜式 斜截式 两点式 y2) 条件 斜率k与点(x0，y0) 斜率k与截距b 两点(x1，y1)，(x2，方程 适用范围 截距式 一般式 截距a与b 3．在平面直角坐标系中，任何直线都有点斜式方程吗？ 教师强调直线方程的几种形式的适用范围： 2 牛刀小试------检验学生对基础知识的掌握情况 生E回答： 1．(教材习题改编)若直线x＝2的倾斜角为α，则α( ) ππA．等于0 B．等于 C．等于 D．不存在 422．(教材习题改编)过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( ) A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 33．直线y＝kx＋1过点1，，则该直线的斜率为( ) 211A．－ B. C．2 D．－2 224．过两点A(0,1)，B(－2,3)的直线方程为____________． 5．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴、y轴上的截距相等，则a＝________. 思考：截距和距离的区别？ 2：突破热点题型： 考点一：直线的倾斜角与斜率 [例1] (1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是 ------------- (2)已知两点A(m，n)，B(n，m)(m≠n)，则直线AB的倾斜角为________； (3)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________ （1）、（2）学生F分析，课件展示答案 （3）学生G分析，老师板演。 1－0 (3)如右图，∵kAP＝kBP＝＝1， 2－13－0＝－3， 0－1 互动探究 若将本例(3)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l的斜率的取值范围. 学生H板演画图作答。 教师总结： 斜率的求法 (1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率； y2－y1(2)公式法：若已知直线上两点A(x，y)，B(x，y)，一般根据斜率公式k＝(x≠x2)求斜率． 1122 x2－x11 变式训练（学生I回答） 1．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是 ( ) 33A. B.3 C．－3 D．－ 33 2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为 ( ) 1 132A. B．－ C．－ D. 3 323 考点二：直线的平行与垂直的判定及应用 2[例2] 若直线ax＋2y－6＝0与x＋(a－1)y＋a－1＝0平行，则a＝________. 学生J回答，其他同学补充（两种方法） 总结得出在直线的一般式下两直线平行与垂直的等价条件 变式训练：（学生K对答案） 3．已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)， Q(3，m)，若l1⊥l2，则实数m＝________. 4．已知过点A(－2，m)，B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝ 0平行，则m的值为________ 考点三：直线方程 [例3] (1)在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为 ( ) A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3) C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1) (2)直线l经过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点．△OAB的面积为12，则直线l的方程是_____________________________________________ 学生K对答案总结规律 求直线方程的常用方法 (1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程． (2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程．再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程． 变式训练：（两个学生同做此题，对比讲解分析） 5．△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求： (1)BC所在直线的方程； (2)BC边上中线AD所在直线的方程； (3)BC边的垂直平分线DE的方程． 3、巩固练习： 一、选择题 1．若直线过点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是 ( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 2．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则系数a为 ( ) 32A．－3 B．－6 C．－ D. 233．已知点A(1,2)，B(m,1)，直线AB与直线y＝0垂直，则m的值为 ( ) A．2 B．1 C．0 D．－1 4．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值为 ( ) A．－8 B．0 C．2 D．10 5．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是 ( ) A．x＋y＋1＝0 B．4x－3y＝0 C．4x＋3y＝0 D．4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0 二、填空题 6．不论a为何实数，直线(a＋3)x＋(2a－1)y＋7＝0恒过第________象限． 7．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为____________． 三、解答题 8．利用直线方程的一般式，求过点(0,3)并且与坐标轴围成三角形面积是6的直线方程． 9．求经过直线l1：x＋y－2＝0，l2：2x－y－1＝0的交点且垂直于直线2x＋y－3＝0的直线方程． 10．已知△ABC的顶点C(5,1)，AC边上的中线BM所在直线方程为2x－y－5＝0，BC边上的高AH所在直线方程为x－2y－5＝0. 求：(1)顶点B的坐标；(2)直线AB的方程． 4、课堂小结 掌握一个关系—直线与倾斜角的关系，三个注意点： (1)明确直线方程各种形式的适用条件 点斜式斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．在应用时要结合题意选择合适的形式，在无特殊要求下一般化为一般式． (2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零． (3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率存在与否加以讨论. 4.易误警示——有关直线方程中“极端”情况的易误点 [典例] (2013·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为______________________． 学生讨论本题的易错点，师生总结： 1．因忽略截距为“0”的情况，导致求解时漏掉直线方程3x＋2y＝0而致错．所以，可以借助几何法先判断，再求解，避免漏解． 2．在选用直线方程时，常易忽视的情况还有： ①选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况； ②选用两点式方程时忽视与x轴垂直的情况及与y轴垂直的情况． 课 后 学 习 教 学 反 思
本单元评测练习 对本节课在充分了解学情的基础上，应大胆放手给学生，授课没必要面面俱到。
