江苏省扬州中学2020届高三数学上学期11月考试试题(附加题)

1、已知二阶矩阵A有特征值4，其对应的一个特征向量为e应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵A．

2、在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，

1，并且矩阵A对4y2直线l的极坐标方程为(sin3cos)43，设点P是曲线C:x1上的

92动点，求P到直线l距离的最大值.

3、现有一款智能学习APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．

（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；

（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为，求的概率分布及数学期望．

4、数列满足且

；

.

（1）用数学归纳法证明：

（2）已知不等式

）.

对成立，证明：（其中无理数

1

附加题

1、【解析】设所求二阶矩阵Aabcd. 因为A有特征值4，其对应的一个特征向量为e14，

所以Ae4e，且A1824，

a4b4a4所以c4d16，解得b2a2b8c8.

c2d4d2所以A4282. 2、【解析】易得直线l:3xy430， 设点P(cos,3sin)， ∴P到直线l的距离

πd|3sin3cos43|23sin64322|2343|233，当且仅当π62kππ2，即2kπ23π(kZ)时取“”， 所以P到直线l距离的最大值为33. 3、【解析】（1）由题意，获得的积分不低于9分的情形有：

因为两类学习互不影响，

所以概率P191216121213121259， 所以每日学习积分不低于9分的概率为59．

2

（2）由题意可知，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3． 由（1）知每个人积分不低于9分的概率为

5． 94则P=0=；

97292408054； P=1=C1=399729243300100254； P=2=C3=997292435125．

P=3=9729所以，随机变量的概率分布列为

3223 P 所以E00 1 2 3 72980 243100 243125 7292403001255123． 72972972972935所以，随机变量的数学期望为．

34、【解析】 （1）①当

时，

，不等式成立.

②假设当这就是说，当（2）当

时不等式成立，即，那么

对所有

成立.

.

时不等式成立.根据①，②可知：

时，由递推公式及（1）的结论有

，两边取对数并利用已知不等式

得，故

3

，求和可得

.由（1）知，故有

，而均小于，故对任意正整数，有

.

，

4