高考数学专题复习：基本不等式

一、单选题

1．设ab0，则a21bab的最小值是（ ）

A．1 B．2

C．3

D．4

2．已知a0，b0，若不等式4a1bmab恒成立，则m的最大值为（ ） A．10

B．12

C．16 D．9

3．已知a＞0，b＞0，a+b＝4，则下列各式中正确的是（ ） A．111ab B．1a14b1 C．ab2 D．

1

ab

1 4．若x＞0，y＞0，x+y＝1，且y4xym恒成立，则实数m取值范围为（ ） A．,2

B．,5

C．,4

D．,8

5．已知a0，b0，若a4b4ab，则ab的最小值是（ ） A．2

B．21

C．94

D．52

6．下列各函数中，最小值为2的是（ ） A．yx11x B．ysinxsinx,x0,2 C．yx22x22 D．yx4x2 7．已知不等式2xm8x10对一切x1,恒成立，则实数m的取值范围是（A．m8

B．m10 C．m8 D．m10

8．若a0，b0，则下面结论正确的有（ ）

A．2a2b2(ab)2

B．若1a4b2，则 ab92

C．若abb22，则ab4

D．若ab1，则ab有最大值12

9．已知x0，那么函数yx21x2有（ ） A．最大值2 B．最小值2 C．最小值4 D．最大值4

10．若正数x，y满足x3y5xy，当3x4y取得最小值时，x4y的值为（ ） A．2

B．3

C．4

D．5

答案第1页，总15页

） 11．若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是（ ）m2 A．5

B．10

C．20

13的最小值是（ ） abD．25

12．已知a0,b0,ab1，则yA．7 二、填空题

B．23 C．4 D．423 x24y213．若实数x，y满足x2y，且xy1，则的最小值是________.

x2y2a22b214．已知a0，b0，a(1a)(ab)ab，则＋的最小值为________．

a3b3ab42a15．已知ab0，那么当代数式取最小值时，点Pa,b的坐标为________

bab23316．定义：关于x的不等式xAB（B0）的解集叫A的B邻域，若ab1的ab（a0，b0）邻域为区间(1,1)，则

11的最小值是________． ab三、解答题

17．（1）若x1，求yx4的最小值及对应x的值； x141（2）若0x2，求的最小值及对应x的值．

x2x

18．（1）已知a0，b0，4ab2ab.求ab的最小值； （2）已知函数fx的取值范围.

19．（1）若x0，求函数yx4的最小值，并求此时x的值； x12xm2xmR.若对任意x0,4，fx20恒成立，求m2a2b2a，b(0,)（2）已知，比较与ab的大小.

ba

答案第2页，总15页

20．已知x,y都是正数，且xy1， 141（）求的最小值；

xy1x（2）求的最小值．

xy

21．已知a、b、cR，abc2.

222（1）证明：abc4. 3315，证明：t或t.

2242（2）若a1btc22

22．（1）设a,b,cR,abc1，证明:abbcac1； 322（2）求满足方程x2y816xy的实数x,y的值.

答案第3页，总15页

参考答案

1．D 【分析】

两次利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】

因为ab0，所以ab0，

baba2所以bab， =（当且仅当bab时取等号）

242所以baba2，

2所以a1414442a222a22=4，（当且仅当a2，即a=2时取等号）.

ababaa故答案为：D 2．D 【分析】

41利用参变分离的方法将不等式变形为m(ab)恒成立，再由基本不等式得出代数

ab式的最值，可得选项. 【详解】

由已知a0，b0，若不等式

41m恒成立， abab41所以m(ab)恒成立，

ab41转化成求y(ab)的最小值，

ab4ba4ba41y(ab)5529，

ababab当且仅当

4ba时取等 ab所以m9． 故选：D． 3．B

答案第4页，总15页

【分析】

利用基本不等式逐个分析判断即可 【详解】

解：因为a＞0，b＞0，a+b＝4，

111abab1ba12(22)1， 所以ab4ab4ab4当且仅当a＝b＝2时取等号，B正确，A错误；

ab4由基本不等式可知ab＝，当且仅当a＝b＝2时取等号，

2故ab2,C错误；故选：B． 4．D 【分析】

先由基本不等式求出即可. 【详解】

解：因为x0，y0，所以

4y0，0

yx1ab1，D错误． 42y4y4的最小值，再由已知判断m8求出实数m取值范围xyxymin又因为xy1，所以

y4y4xyy4xy4x4248， xyxyxyxy当且仅当

y4x2即y2x时，取等号， xy314xy4因为xym恒成立，所以mxy所以实数m取值范围是,8 故选：D. 5．C 【分析】

8

min1a4b14141将a4b4ab，转化为4，由abab5，利用基本不

ba4baba4等式求解.

答案第5页，总15页

【详解】

因为a4b4ab， 14所以4，

ba所以ab1141a4b5， ab4baba41a4b9524， 4ba3144aba2当且仅当，即时，等号成立，

3a4bb4ba故选：C 6．D 【分析】

根据自变量的取值范围，可判定A，B，C；由基本不等式可确定D正确. 【详解】

A选项：当x0时，yx10，故选项A错误； xB选项：当x0,2时， sinx1,1 当1sinx0时，ysinx10，故选项B错误； sinxC选项：yx22x22x222，故选项C错误；

4422， 4，所以yxxx42的最小值为2，故选项D正确. 又x4时，y2，所以yxxD选项：由基本不等式得，x故选：D. 7．D 【分析】

由参变量分离法可得m2x88，利用基本不等式求出当x1,时，2x的最x1x1小值，由此可求得实数m的取值范围. 【详解】

答案第6页，总15页

由参变量分离法可得m2x88，当x1,时，m2x，

x1minx18882x1222x1210， x1x1x1当x1,时，x10，2x当且仅当x3时，等号成立，故m10，解得m10. 故选：D. 8．B 【分析】

对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可. 【详解】

对于选项A：若a0，b0，

22由基本不等式得a2b22ab，即2abab，

2当且仅当ab时取等号；所以选项A不正确； 对于选项B：若a0，b0， 1141， 2abb4a91141b4a152abab52， ab2ab2ab214b4a当且仅当2且，

abab3即a,b3时取等号，所以选项B正确；

2对于选项C：由a0，b0，

abb2bab2，

2即ab，

b如b2时，ab214，所以选项C不正确； 221ab1ab对于选项D：ab，当且仅当时取等 2241则ab有最大值，所以选项D不正确；

4故选：B 9．B

答案第7页，总15页

【分析】

利用基本不等式，即可得到答案； 【详解】

x0x20, yx21212x22，等号成立当且仅当x1， x2x函数的最小值2，

故选：B. 10．B 【分析】 由x3y5xy，得

131315，所以3x4y(3x4y)，化简后利用基本不等式求yx5yx出其最小值，从而可求出x,y的值，进而可求出x4y的值 【详解】

解：因为正数x，y满足x3y5xy，所以

135， yx131所以3x4y(3x4y)

5yx13x12y94 5yx13x12y1325， 5yx当且仅当

3x12y，即x2y时取等号， yx1， 2因为x3y5xy，所以解得x1,y所以当x1,y1时，3x4y取得最小值， 213， 2所以x4y14故选：B 11．D 【分析】

答案第8页，总15页

设矩形的一边为x米，场地面积为y,则可得y关于x的解析式，结合基本不等式可求场地面积的最大值. 【详解】

1设矩形的一边为x米，则另一边为202x10x米，设场地面积为y，

2x10x∴yx10x25，当且仅当x10x，即x5时，ymax25．

22故选：D. 12．D 【分析】

由“1”的妙用和基本不等式可求得结果. 【详解】

因为a0,b0,ab1， 所以y13b3ab3a13ab442423， ababababb3a即b3a时，等号成立. ab当且仅当

结合ab1可知，当a故选：D. 13．4 【分析】

3133时，y有最小值423. ,b224x24y2将变形为(x2y)x2y，然后结合基本不等式即可求解．

x2y【详解】

解：x，y满足x2y，且xy1，

4x24y2(x2y)24xy44(x2y)2(x2y)4，当且仅当x2y则且x2yx2yx2yx2yx2yxy1，即x13，y31时取等号， 2x24y2此时的最小值4．

x2y故答案为：4． 14．2

答案第9页，总15页

1【分析】

2ababa0，从而可得ab1，利用换元法和基本不等式将原等式化为b1a可求最值. 【详解】

2ababa0， a(1a)(ab)2a3b3可化为b1a因为a0，b0，故ababa0，故b1a0， 所以ab1.

3yxa8xa3b,y3ab设，故且xy4，

3xyb823yx3xy22故2a22b288 a3b3abxy2219y29x220 32xy 又yx=xyxyxy2233xyxyxy23xy4163，

xy因为xy4,x0,y0，故42xy即xy4，当且仅当xy2时等号成立，

y2x212a22b2故的最小值为4，故的最小值为2. xya3b3ab故答案为：2. 15．(2,1) 【分析】

1bab根据题意有b(ab)，当且仅当bab，即a2b时取等号，所以

22a2416a2216，结合ab0以及两个不等式等号成立的条件可求出a,b的值，

baba从而可求得答案 【详解】

解：由ab0，得ab0，

答案第10页，总15页

2baba所以b(ab)，当且仅当bab，即a2b时取等号，

242所以a2416a2216，其中第一个不等式等号成立的条件为a2b，第二个不等

baba16， a22式等号成立的条件为a216aa24a22aa2b 所以当取最小值时，，解得babb1ab0所以点Pa,b的坐标为(2,1)， 故答案为：(2,1) 【点睛】

关键点点睛：此题考查基本不等式的应用，解题的关键是多次使用基本不等式，但不要忽视每次取等号的条件，考查计算能力，属于中档题 16．4 【分析】

根据新定义得到xab1ab的解集为区间(1,1)，从而得到关于a,b的等量关系，再利用基本不等式求得【详解】

由题意得：xab1ab的解集为区间(1,1)，

因为xab1ab，解得不等式的解集为1,2ab1， 所以2ab11，整理得ab1，

11的最小值． ab所以

1111ababab2224， ababbaba1ab，即ab时取等号， ba2当且仅当所以

11的最小值是4． ab故答案为：4．

9417．（1）最小值为5，x3；（2）最小值为，x．

32答案第11页，总15页

【分析】

（1）化简yx141，再利用基本不等式求解； x1141141)2()[x(2x)]，再利用基本不等式求解. （2）化简y(2x2x2x2x【详解】

（1）因为x1，所以x10,40， x14412(x1)()15 x1x14(x1)即x3时等号成立，函数取最小值5； 当且仅当x1x1yx114114114(2x)x)2()[x(2x)][5] （2）y(2x2x2x2x2x2x14(2x)x9(52) 2x2x294(2x)x4(0x2)即x时等号成立，函数取最小值. 当且仅当

x2x32918．（1）最小值；（2）0,.

2【分析】

141（1）先将4ab2ab化为1，再将1进行整体代换，利用基本不等式解得；

2ba（2）先分离变量，再利用基本不等式即可解出. 【详解】

41解：（1）因为a0，b0，4ab2ab，所以2，

ba所以ab1141b4a1b4a9552ab2， 2ab2abab2当且仅当

4193b4a且2，即a，b3时取等号，ab的最小值；

2ab2ba（2）∵对任意x0,4，fx20恒成立， ∴2mx212x对任意的x0,4恒成立， 2当x0时，02恒成立，符合题意； 当x0,4时，要使2mx212x恒成立， 22112122mx则只需成立，而x2x2，当且仅当x2时取等号， xmin22x2x答案第12页，总15页

21∴2mx2，∴m0，∴m的取值范围为0,.

xmin2419．（1）当x2时，函数yx取最小值4；（2）见解析.

x【分析】

（1）利用基本不等式即可得解； （2）按照ab、a【详解】

（1）因为x0，所以yx所以函数yx4442x4，当且仅当x即x2时，等号成立，

xxxb分类，结合作差法即可得解.

4的最小值为4，此时x2； x22a2b2a3b3a2bab2aabbab （2）由题意，abbaababababab2，

因为a，b(0,)，所以ab0,ab0，

a2b2a2b2所以当ab时，ab0，ab；

baba当aa2b2a2b2b时，ab0，ab.

baba20．(1)9 ；(2)3 . 【分析】

(1) 利用1的代换将式子变形，再用基本不等式求最小值；

(2) 先将式子中的1用xy代换，展开整理，再用基本不等式求最小值. 【详解】 (1)

14144xyxy5. xyxyyx因为x,y都是正数，所以由基本不等式得，

4xy4xy24， yxyx1421所以9，当且仅当x ，y 时等号成立.

xy3314所以的最小值为9 .

xy答案第13页，总15页

(2)

yx1xxyx1. xyxyxy因为x,y都是正数，所以由基本不等式得，

yxyx22， xyxy1x11

所以3，当且仅当x ，y 时等号成立.

xy221x所以的最小值为3.

xy21．（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】

（1）本题首先可通过abc2得出a2b2c22ab2bc2ac4，然后根据基本不等

222式得出3abc4，即可证得结论；

（2）本题首先可根据题意得出a1btc1t，然后通过基本不等式得出

1t2223223a1btc2，最后通过a1btc2得出1t429，即可4证得结论. 【详解】

（1）因为abc2，所以a2b2c22ab2bc2ac4， 因为a2b22ab，a2c22ac，b2c22bc，

所以a2b2c22ab2bc2aca2b2c2a2b2b2c2a2c2，

222222即3abc4，abc4，当且仅当abc时取等号. 3（2）a1btcabc1t1t，

2则a1btca1btc2a1bt2a1c2btc

222a1btc2a1bta1c2btc2

2222223a1btc2，当且仅当a1bt222a1btc2， 即1t322c时取等号，

2因为a1btc223， 4所以1t29，解得t15或t.

22答案第14页，总15页

x2x222． 或 （1）见解析; （2）y22y22【分析】

（1）利用重要不等式和不等式性质即得; （2）利用均值定理即得. 【详解】

（1）a2b22ab,b2c22bc,a2c22ac 以上三个式子相加可得：a2b2c2abbcac a2b2c22ab2bc2ac3ab3bc3ac

即(abc)23ab3bc3ac 即13ab3bc3ac故:abbcac1. 3（2）x2222x,y2842y x22y2816xy16xy

2故满足方程x2x2x2y2816xy时有 或 y22y22答案第15页，总15页