一、单项选择题(每小题2分,共12分)
a1. 设四阶行列式dDbabadcccccdb,则A11db2A21A31A41( ).
A.abcd B.0 C.(abcd) D.(abcd)
2. 设A(aij)mn,Ax0仅有零解,则 ( )
(A) A的行向量组线性无关; (B) A的行向量组线性相关; (C) A的列向量组线性无关; (D) A的列向量组线性相关;
3. 设P(A)40.8,P(A|B)0.8,P(B)0.7,则下列结论正确的是( ).
P(A)P(B)
A.事件A与B互不相容; B.AB; C.事件A与B互相;D.P(AB)4. 从一副52张的扑克牌中任意抽5张,其中没有K字牌的概率为( ).
55C4848C48485A.5 B. C. D.5C525555552
5. 复数z5(cosisin)的三角表示式为( )
5444A.5(cosisin) B.5(cosisin)
555444C.5(cosisin) D.5(cosisin)
5555dzc(zi)n1等于( )
6. 设C为正向圆周|z+1|=2,n为正整数,则积分
A.1; B.2πi; C.0; D.二、填空题(每空3分,共18分) 1. 设A、B均为n阶方阵,且|T1 2iA|2,|B|3,则|2BA1| . TT2. 设向量组11,1,1,21,2,1,32,3,t则当t 时,
1,2,3线性相关.
3. 甲、乙向同一目标射击,甲、乙分别击中目标概率为0.8, 0.4,则目标被击中的概率为
24. 已知E(X)1,D(X)3,则E3(X2)______.
5. 设f(t)是定义在实数域上的有界函数,且在t0处连续,则6. 函数F(s)(t)f(t)dt .
5s1 的Laplace逆变换为f(t) .
(s1)(s2)三、计算题(每小题10分,共70分)
4231. 设A110, 而B满足关系式ABA2B,试求矩阵B.
123
x1x32.当为何值时,4x1x22x32无解,有解,并在有解时求出其解.
6xx4x232313、设在15只同类型的零件中有两只是次品,在其中取3次,每次任取一只,作不放回抽样,
以 X表示取出次品的只数,求X的分布律。
4(1)若设随机变量X的分布
X P -1 1/8 0 1/2 1 1/8 2 1/4 律
x0x1(2)若设随机变量X的概率密度f (x)=2x1x20其他22,就情形(1)和(2)分别求E(X),D(X).
5.已知调和函数 u(x,y)xy2xy,求函数 v(x,y),使函数 f(z)uiv 解析且满足 f(i)1i. . 6. 计算Idzcz3(z1)(z2)的值,其中C为正向圆周zr,r1,2.。
y3y3yy1,7.用拉氏变换解方程组:
y(0)y(0)1,y(0)2.
(二)
一、选择题(每小题2分,共12分)
1. 设A为3阶方阵, 数2, |A| =3, 则|A| = ( )
A.24; B.24; C.6; D.6.
2.
,,均为三维列向量,A(,,),( ). ,,组成的向量组线性相关,|A|的值
A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.无法确定
3. 设随机变量X的概率密度为 f(x)abx,0x1;130,其它. 且 P{X2}8,则有((A)a0,b2;(B)a1,b0;(C)a12,b1;(D)a12,b12. 4. 一射手向目标射击3 次,Ai:
第i次击中(i1,2,3),则3次至多2次击中目标表为( (A)A1A2A3;(B)A1A2A3;(C)A1A2A3;(D)A1A2A3
5. 复数z(1cos)isin(0)的辐角为 ( A. B.
2 C.
D.2
6. 设f(t)1t1t1 则其傅氏变换为 ( ) 0A.
2sin B.sinsin12 C.1 D.不存在 二、填空题(每空格2分,共12分)
1. 方程组x1x2x30x的基础解系中向量的个数为
723x302. 设A3548,则A1 3. .设某种产品的次品率为0.01,现从产品中任意抽取4个,则有1个次品的概率是_ 4. 随机变量X与Y相互,E(X)E(Y),D(X)D(Y)2,则E(XY)2= 5. 设C为正向圆周|z-i|=1ez3,则积分cz(z-i)dz=_____________。 6. 1的拉氏变换为______________________。
三、计算题或证明(每小题10分,共70分)
); ):)
1. 已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1: ax2by3c0,l2: bx2cy3a0, l3: cx2ay3b0.
试证:这三条直线交于一点的充分必要条件为abc=0
11012216132. 设四维向量组1,2,3,4,5,求该
0112411501向量组的秩及一个极大线性无关组,并把其余向量用该极大线性无关组线性表示
3. 据统计男性有5%是患色盲的,女性有0.25%的是患色盲的,今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?
4. 设事件A、B满足条件P(A)11,P(B|A)P(A|B). 定义随机变量X、Y 如42 1,若A 发生, 1,若B 发生,下:X Y求二维随机变量(X,Y)的
0,若B 不发生, 0,若A 不发生,联合分布律.
5. 求ux22xy-y2的共轭调和函数v(x,y),并使v(0,0)=1;
6. 求指数衰减函数f(t)0tet0t0的Fourier变换及其积分表达式。
7.用拉氏变换求解微分方程
x(t)y(t)x(t)y(t)0 2x(t)y(t)x(t)y(t)sint
x(0)y(0)0
x(0)y(0)1
(一) 答案
一、单项选择题(每小题2分,共12分)
1. B 2.C 3. C 4. A 5.C 6. C 二、填空题(每空3分,共18分) 1.32n1; 2. 2 ; 3. 0.88; 4. 6; 5.
f(0); 6.2et3e2t
三、计算题或证明(每小题10分,共70分) 1.解:
ABA2B,(A2E)BA,B(A2E)1A,
2212310003010001322891266, 93223410,11012112113861所以B(A2E)A296. 21292A2E1112. 解:AA|b46当1时,r(A)01112412002301012023, 13,~r(A)r(A)2,方程组有
r(A)2,线性方程组无解;当1时
TTx1,1,0k1,2,1,k为任意常数
无穷多解,且其通解为
3. 设X为“取出的次品数”,则
31221C13C2C1312C2C13122 P(X0)3,P(X1)3,P(X2)3C1535C1535C153 (1) E (X)=0.5, D(X)=1.875 (2 ) E (X)=1, D(X)=1/6. 5. 1、(1) 由
uv2x2yxy,有v(2x2y)dy2xyy2(x),
由
uv2y2x2y(x),有 (x)2x, yx (x)(2x)dxx2c,即得 v(x,y)2xyy2x2c,
f(z)x2y22xyi(2xyy2x2c);(2) 由 f(i)1i c0,
6.(1) 当0r1时,设f(z)1,则f(z)在C内解析,z0在C内,
(z1)(z2)z0I(2)当1r1dz2i13[]c(z1)(z2)z2!(z1)(z2)3i 42时,作互不相交,互不包含的圆周C1,C2,C3分别包围点0,-1,2,
IC12idzdz 33C23z(z1)(z2)z(z1)(z2)(3)当2r时,作互不相交,互不包含的圆周C1,C2,C3分别包围点0,-1,2,
IC1idzdzdzz3(z1)(z2)C2z3(z1)(z2)C3z3(z1)(z2)12
7. 在方程两边取拉氏变换,并用初始条件得
S3Y(S)S2y(0)Sy(0)y(0)3(S2Y(S)Sy(0)y(0))
1 S1(S33S23S1)Y(S)12(S23S3)(S3)
S11(2S35S24S1)(2S1)(S1)2 SS3(SY(S)y(0))Y(S)即
Y(S)12S111
S(S1)SS1
故
y(t)L[Y(S)]et1
(二) 答案
一、选择题(每小题2分,共12分)
1. A 2. B 3. D 4. C 5. B 6. A 二、填空题(每空格2分,共12分)
1. 1;, 2. 2125 , 3. 0.039 4.2 ,5. 4342; 6、
1s(Res0)
三、计算题或证明(每小题10分,共70分)
1. 解:证明:必要性由l1,l2,l3交于一点得方程组有非零解
a2b3c故R(A)1bc1ab:
R(A)b2c3a0(abc)1ca0所以abc0充分
c2a3b性
abc0b(ac)a2bb2c2(acb2)2[ac(ac)2][a2c2(ac)2]0。
ax2by3c0R(A)R(A)2,因此方程组bx2cy3a0 有唯一解,即l1,l2,l3交于一点.
cx2ay3b02. 解:A(α1,α2,α3,α4,α5)
11001211011113212645r100001001100001012, 30所以R(α1,α2,α3,α4,α5)3,α1,α2,α4为向量组α1,α2,α3,α4,α5的一个极大线性无关组,且
α3α1α2,α5α12α23α4.
B{患有色盲}, 3. 设A{任意挑选一人为男性},已知 P(B|A)5%,P(B|A)0.25%,P(A)0.5,则有
P(A|B)P(A)P(B|A)0.55%0.9524
P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)0.55%0.50.25%的可能取值(0,0),(0,1)(1,0)(1,1)
4. 解:
(X,Y)P{X1,Y1}P(AB)P(A)P(BA)1818
P{X1,Y0}P(AB)P(A)P(AB)P{X0,Y1}P(AB)5、1115P(AB)1P(AB) P{X0,Y0}1
8888P(AB)8vuvuuu,-, 2x2y,2x-2y,由C-R条件,有
yxxyxyvvdy(2x2y)dy2xyy2(x)。
x再由
vu2y'(x)-2x2y-,得'(x)-2x,(x)-x2C xyv2xyy2-x2C。v(0,0)1,得C=1。v2xyy2-x21
6. F()f(t)ejtdte(j)tdt0jt1j2j2
1f(t)2F()e1d2jjt22ed
12costsint1costsintdd22220(t0)
7. 令X(s)[x(t)],Y(s)[y(t)],对方程两边取拉氏变换得:
s2X(s)1s2Y(s)1X(s)Y(s)01222sX(s)2sY(s)1X(s)Y(s)s21
X(s)Y(s)1 原方程的解为x(t)y(t)sint 2s1
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